38В. а) Решите уравнение \({\log _2}\left( {4\sin 2x} \right) — {\log _2}\left( {2\cos x} \right) \cdot {\log _2}\left( {4\sin x} \right) = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — 2\pi ;\,\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\) б) \( — \dfrac{{11\pi }}{6};\,\,\;\;\dfrac{\pi }{6}.\)
а) \({\log _2}\left( {4\sin 2x} \right) — {\log _2}\left( {2\cos x} \right) \cdot {\log _2}\left( {4\sin x} \right) = 1.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x > 0,}\\{\cos x > 0,\,\,}\\{\sin x > 0.\;\,}\end{array}} \right.\) \({\log _2}\left( {4\sin 2x} \right) — {\log _2}\left( {2\cos x} \right) \cdot {\log _2}\left( {4\sin x} \right) = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {8\sin x\cos x} \right) — {\log _2}\left( {2\cos x} \right) \cdot {\log _2}\left( {4\sin x} \right) — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {4\sin x} \right) + {\log _2}\left( {2\cos x} \right) — {\log _2}\left( {2\cos x} \right) \cdot {\log _2}\left( {4\sin x} \right) — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{\log _2}\left( {4\sin x} \right)\left( {1 — {{\log }_2}\left( {2\cos x} \right)} \right) — \left( {1 — {{\log }_2}\left( {2\cos x} \right)} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{{\log }_2}\left( {4\sin x} \right) — 1} \right)\left( {1 — {{\log }_2}\left( {2\cos x} \right)} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\log }_2}\left( {4\sin x} \right) = 1,}\\{{{\log }_2}\left( {2\cos x} \right) = 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4\sin x = 2,}\\{2\cos x = 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \dfrac{1}{2},}\\{\cos x = 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\\{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\,k \in Z.\) Найдём решение уравнения с учётом ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,}\\{x = 2\pi k,\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\sin 2x > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x > 0,\,}\\{\sin x > 0\;\,}\end{array}\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — 2\pi ;\,\,\dfrac{{2\pi }}{3}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \( — 2\pi \le \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k \le \dfrac{{2\pi }}{3}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \dfrac{{13\pi }}{6} \le 2\pi k \le \dfrac{\pi }{2}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; — \dfrac{{13}}{{12}} \le k \le \dfrac{1}{4}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;k = — 1,\;\;\,k = 0.\) При \(k = — 1,\) \(x = \dfrac{\pi }{6} — 2\pi = — \dfrac{{11\pi }}{6}.\) При \(k = 0,\) \(x = \dfrac{\pi }{6}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни \( — \dfrac{{11\pi }}{6};\,\,\;\;\dfrac{\pi }{6}.\) Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\) б) \( — \dfrac{{11\pi }}{6};\,\,\;\;\dfrac{\pi }{6}.\)