39В. а) Решите уравнение  \({5^{4{{\sin }^2}x}} \cdot {7^{2\sin x — 1}} = 5\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;\;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а)  \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\)

б) \(\dfrac{\pi }{6};\,\,\;\;\dfrac{{5\pi }}{6};\,\,\;\;\dfrac{{13\pi }}{6}.\)

Решение

а) \({5^{4{{\sin }^2}x}} \cdot {7^{2\sin x — 1}} = 5.\)

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:  \(b = {a^{{{\log }_a}b}}.\)  Тогда уравнение примет вид:

\({5^{4{{\sin }^2}x}} \cdot {5^{\left( {2\sin x — 1} \right){{\log }_5}7}} = {5^1}\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{5^{4{{\sin }^2}x + \left( {2\sin x — 1} \right){{\log }_5}7}} = {5^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\;\;\;4{\sin ^2}x + \left( {2\sin x — 1} \right){\log _5}7 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;4{\sin ^2}x — 1 + \left( {2\sin x — 1} \right){\log _5}7 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\;\;\;\left( {2\sin x — 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) + \left( {2\sin x — 1} \right){\log _5}7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\;\;\;\left( {2\sin x — 1} \right)\left( {2\sin x + 1 + {{\log }_5}7} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\sin x =  — \dfrac{{1 + {{\log }_5}7}}{2} <  — 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sin x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\,\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\):

\( — \pi  \le \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k \le \dfrac{{5\pi }}{2},\)

\( — \dfrac{{7\pi }}{6} \le 2\pi k \le \dfrac{{7\pi }}{3},\)

\( — \dfrac{7}{{12}} \le k \le \dfrac{7}{6},\)

\(k = 0,\)   \(x = \dfrac{\pi }{6}.\)

\(k = 1,\)      \(x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi  = \dfrac{{13\pi }}{6}.\)

 \( — \pi  \le \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k \le \dfrac{{5\pi }}{2},\)

\( — \dfrac{{11\pi }}{6} \le 2\pi k \le \dfrac{{5\pi }}{3},\)

\( — \dfrac{{11}}{{12}} \le k \le \dfrac{5}{6},\)

\(k = 0,\)    \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}.\)

Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни  \(\dfrac{\pi }{6};\,\,\;\;\dfrac{{5\pi }}{6};\,\,\;\;\dfrac{{13\pi }}{6}.\)

Ответ:  а) \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\)

             б) \(\dfrac{\pi }{6};\,\,\;\;\dfrac{{5\pi }}{6};\,\,\;\;\dfrac{{13\pi }}{6}.\)