39В. а) Решите уравнение \({5^{4{{\sin }^2}x}} \cdot {7^{2\sin x — 1}} = 5\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \pi ;\;\;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\) б) \(\dfrac{\pi }{6};\,\,\;\;\dfrac{{5\pi }}{6};\,\,\;\;\dfrac{{13\pi }}{6}.\)
а) \({5^{4{{\sin }^2}x}} \cdot {7^{2\sin x — 1}} = 5.\) Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: \(b = {a^{{{\log }_a}b}}.\) Тогда уравнение примет вид: \({5^{4{{\sin }^2}x}} \cdot {5^{\left( {2\sin x — 1} \right){{\log }_5}7}} = {5^1}\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;{5^{4{{\sin }^2}x + \left( {2\sin x — 1} \right){{\log }_5}7}} = {5^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;4{\sin ^2}x + \left( {2\sin x — 1} \right){\log _5}7 = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;4{\sin ^2}x — 1 + \left( {2\sin x — 1} \right){\log _5}7 = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;\left( {2\sin x — 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) + \left( {2\sin x — 1} \right){\log _5}7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\;\;\;\left( {2\sin x — 1} \right)\left( {2\sin x + 1 + {{\log }_5}7} \right) = 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \dfrac{1}{2},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\sin x = — \dfrac{{1 + {{\log }_5}7}}{2} < — 1}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\sin x = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\,}\\{x = \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \pi ;\,\,\dfrac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \( — \dfrac{{7\pi }}{6} \le 2\pi k \le \dfrac{{7\pi }}{3},\) \( — \dfrac{7}{{12}} \le k \le \dfrac{7}{6},\) \(k = 0,\) \(x = \dfrac{\pi }{6}.\) \(k = 1,\) \(x = \dfrac{\pi }{6} + 2\pi = \dfrac{{13\pi }}{6}.\) \( — \dfrac{{11\pi }}{6} \le 2\pi k \le \dfrac{{5\pi }}{3},\) \( — \dfrac{{11}}{{12}} \le k \le \dfrac{5}{6},\) \(k = 0,\) \(x = \dfrac{{5\pi }}{6}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни \(\dfrac{\pi }{6};\,\,\;\;\dfrac{{5\pi }}{6};\,\,\;\;\dfrac{{13\pi }}{6}.\) Ответ: а) \(\dfrac{\pi }{6} + 2\pi k,\;\;\;\,\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k,\;\;\;\,k \in Z;\) б) \(\dfrac{\pi }{6};\,\,\;\;\dfrac{{5\pi }}{6};\,\,\;\;\dfrac{{13\pi }}{6}.\)
\( — \pi \le \dfrac{\pi }{6} + 2\pi k \le \dfrac{{5\pi }}{2},\)
\( — \pi \le \dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi k \le \dfrac{{5\pi }}{2},\)