4В. а) Решите уравнение \({5^{2\sin 2x}} = {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x}\right)}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right]\).
а) \({5^{2\sin 2x}} = {\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{2\sin 2x}} = {5^{ — 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\sin 2x = — 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right).\) Воспользуемся формулами приведения и синуса двойного угла: \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + x} \right) = \sin x,\,\;\sin 2x = 2\sin x\cos x.\) Тогда уравнение примет вид: \(4\sin x\cos x = — 2\sin x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x\left( {4\cos x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{4\cos x + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = 0,\;\,\,}\\{\cos x = — \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pi k,\;\,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\,\,\,}\\{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,}\end{array}} \right.\;\;\;k \in Z.\) \(x = 2\pi ;\,\;\,\,\,\,\,x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi = \frac{{8\pi }}{3};\;\,\,\,\,\,\;x = 3\pi .\) Ответ: а) \(\pi k,\;\; \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(2\pi ;\,\;\,\frac{{8\pi }}{3};\;\;3\pi .\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{3\pi }}{2};3\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: