а)
\({15^{\sin x}} = {5^{\sin x}} \cdot {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{\sin x}} \cdot {3^{\sin x}} = {5^{\sin x}} \cdot {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\;\,\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{\sin x}}\left( {{3^{\sin x}} — {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{\sin x}} = 0,\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{{3^{\sin x}} = {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}.}\end{array}} \right.\)
Уравнение \({5^{\sin x}} = 0\) не имеет решений. Тогда:
\({3^{\sin x}} = {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sin x = — \sqrt 3 \cos x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\,x = — \sqrt 3 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x = — \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\;\;k \in Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{{5\pi }}{2};4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:
\(x = — \dfrac{\pi }{3} + 3\pi = \dfrac{{8\pi }}{3};\;\,\,\,\,\;x = — \dfrac{\pi }{3} + 4\pi = \dfrac{{11\pi }}{3}.\)
Ответ: а) \( — \dfrac{\pi }{3} + \pi k,\;\;k \in Z;\)
б) \(\dfrac{{8\pi }}{3};\,\;\,\dfrac{{11\pi }}{3}.\)