5В. а) Решите уравнение \({15^{\sin x}} = {5^{\sin x}} \cdot {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};4\pi } \right]\).
ОТВЕТ: а) \( — \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{8\pi }}{3};\,\;\,\frac{{11\pi }}{3}.\)
а) \({15^{\sin x}} = {5^{\sin x}} \cdot {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{\sin x}} \cdot {3^{\sin x}} = {5^{\sin x}} \cdot {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\;\,\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{\sin x}}\left( {{3^{\sin x}} — {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{\sin x}} = 0,\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{{3^{\sin x}} = {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}.}\end{array}} \right.\) Уравнение \({5^{\sin x}} = 0\) не имеет решений. Тогда: \({3^{\sin x}} = {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sin x = — \sqrt 3 \cos x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\,x = — \sqrt 3 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x = — \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = — \frac{\pi }{3} + 3\pi = \frac{{8\pi }}{3};\;\,\,\,\,\;x = — \frac{\pi }{3} + 4\pi = \frac{{11\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\frac{{8\pi }}{3};\,\;\,\frac{{11\pi }}{3}.\)