5В. а) Решите уравнение  \({15^{\sin x}} = {5^{\sin x}} \cdot {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};4\pi } \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( — \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;k \in Z;\)

б) \(\frac{{8\pi }}{3};\,\;\,\frac{{11\pi }}{3}.\)

Решение

а)

\({15^{\sin x}} = {5^{\sin x}} \cdot {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{\sin x}} \cdot {3^{\sin x}} = {5^{\sin x}} \cdot {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\;\,\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{5^{\sin x}}\left( {{3^{\sin x}} — {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{5^{\sin x}} = 0,\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{{3^{\sin x}} = {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}.}\end{array}} \right.\)

Уравнение   \({5^{\sin x}} = 0\)   не имеет решений. Тогда:

\({3^{\sin x}} = {3^{ — \sqrt 3 \cos x}}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\sin x =  — \sqrt 3 \cos x\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\rm{tg}}\,x =  — \sqrt 3 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;x =  — \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{{5\pi }}{2};4\pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — \frac{\pi }{3} + 3\pi  = \frac{{8\pi }}{3};\;\,\,\,\,\;x =  — \frac{\pi }{3} + 4\pi  = \frac{{11\pi }}{3}.\)

Ответ:  а) \( — \frac{\pi }{3} + \pi k,\;\;k \in Z;\)

             б) \(\frac{{8\pi }}{3};\,\;\,\frac{{11\pi }}{3}.\)