6В. а) Решите уравнение  \({12^{\cos x}} = {3^{\cos x}} \cdot {\left( {0,25} \right)^{ — \sin x}}\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {5\pi ;\,\,\frac{{13\pi }}{2}} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;k \in Z;\)

б) \(\frac{{21\pi }}{4};\;\;\;\frac{{25\pi }}{4}.\)

Решение

а)

\({12^{\cos x}} = {3^{\cos x}} \cdot {\left( {0,25} \right)^{ — \sin x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{4^{\cos x}} \cdot {3^{\cos x}} = {3^{\cos x}} \cdot {4^{\sin x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{\cos x}}\left( {{4^{\cos x}} — {4^{\sin x}}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\cos x}} = 0,\;\;\;\,}\\{{4^{\cos x}} = {4^{\sin x}}.}\end{array}} \right.\)

Уравнение   \({3^{\cos x}} = 0\)   не имеет решений. Тогда:

\({4^{\cos x}} = {4^{\sin x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x = \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x = 1\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {5\pi ;\,\,\frac{{13\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x = \frac{\pi }{4} + 5\pi  = \frac{{21\pi }}{4};\;\,\,\,\,\;x = \frac{\pi }{4} + 6\pi  = \frac{{25\pi }}{4}.\)

Ответ:  а) \(\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;k \in Z;\)

             б) \(\frac{{21\pi }}{4};\;\;\;\frac{{25\pi }}{4}.\)