7В. а) Решите уравнение  \({21^{\sin x}} = {3^{\sin x}} \cdot {7^{-\cos x}}\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \,\frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(-\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;k \in Z;\)

б) \( — \;\frac{{9\pi }}{4};\;\; — \frac{{5\pi }}{4}.\)

Решение

а)

\({21^{\sin x}} = {3^{\sin x}} \cdot {7^{ — \cos x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,{3^{\sin x}} \cdot {7^{\sin x}} = {3^{\sin x}} \cdot {7^{ — \cos x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{\sin x}}\left( {{7^{\sin x}} — {7^{ — \cos x}}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\sin x}} = 0,\,\;\;\;\;\,}\\{{7^{\sin x}} = {7^{ — \cos x}}.}\end{array}} \right.\)

Уравнение   \({3^{\sin x}} = 0\)   не имеет решений. Тогда:

\({7^{\sin x}} = {7^{ — \cos x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x =  — \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x =  — 1\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x =  — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;k \in Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2};\,\, — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения:

\(x =  — \frac{\pi }{4} — 2\pi  =  — \frac{{9\pi }}{4};\;\,\,\,\;x =  — \frac{\pi }{4} — \pi  =  — \frac{{5\pi }}{4}.\)

Ответ:  а) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;k \in Z;\)

             б) \( — \;\frac{{9\pi }}{4};\;\; — \frac{{5\pi }}{4}.\)