7В. а) Решите уравнение \({21^{\sin x}} = {3^{\sin x}} \cdot {7^{-\cos x}}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ { — \,\frac{{5\pi }}{2}; — \pi } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-\frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;k \in Z;\) б) \( — \;\frac{{9\pi }}{4};\;\; — \frac{{5\pi }}{4}.\)
а) \({21^{\sin x}} = {3^{\sin x}} \cdot {7^{ — \cos x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\,{3^{\sin x}} \cdot {7^{\sin x}} = {3^{\sin x}} \cdot {7^{ — \cos x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;{3^{\sin x}}\left( {{7^{\sin x}} — {7^{ — \cos x}}} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^{\sin x}} = 0,\,\;\;\;\;\,}\\{{7^{\sin x}} = {7^{ — \cos x}}.}\end{array}} \right.\) Уравнение \({3^{\sin x}} = 0\) не имеет решений. Тогда: \({7^{\sin x}} = {7^{ — \cos x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\sin x = — \cos x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\rm{tg}}\,x = — 1\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{2};\,\, — \pi } \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: \(x = — \frac{\pi }{4} — 2\pi = — \frac{{9\pi }}{4};\;\,\,\,\;x = — \frac{\pi }{4} — \pi = — \frac{{5\pi }}{4}.\) Ответ: а) \( — \frac{\pi }{4} + \pi k,\;\;k \in Z;\) б) \( — \;\frac{{9\pi }}{4};\;\; — \frac{{5\pi }}{4}.\)