8В. а) Решите уравнение \({2^{4\cos x}} + 3 \cdot {2^{2\cos x}} — 10 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\pi ;\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).
а) \({2^{4\cos x}} + 3 \cdot {2^{2\cos x}} — 10 = 0.\) Пусть \({2^{2\cos x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + 3t — 10 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 5 < 0,}\\{{t} = 2.\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({2^{2\cos x}} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{2^{2\cos x}} = {2^1}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = \frac{1}{2}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) \(x = — \frac{\pi }{3} + 2\pi = \frac{{5\pi }}{3};\;\;\,\,\,x = \frac{\pi }{3} + 2\pi = \frac{{7\pi }}{3}.\) Ответ: а) \( \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\;\frac{{5\pi }}{3};\;\;\frac{{7\pi }}{3}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\pi ;\,\,\frac{{5\pi }}{2}} \right],\) с помощью тригонометрической окружности. Получим значения: