9В. а) Решите уравнение \({\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\cos x}} + 3 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\cos x}} — 4 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {4\pi ;\,7\pi } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\;\frac{{9\pi }}{2};\;\;\frac{{11\pi }}{2};\;\;\frac{{13\pi }}{2}.\)
а) \({\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\cos x}} + 3 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\cos x}} — 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{2\cos x}} + 3 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\cos x}} — 4 = 0.\) Пусть \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\cos x}} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда уравнение примет вид: \({t^2} + 3t — 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = — 4 < 0,}\\{{t} = 1.\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\cos x}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{\cos x}} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^0}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\cos x = 0\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;\;\;k \in Z.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {4\pi ;\,7\pi } \right],\) с помощью двойного неравенства, учитывая, что \(k \in Z\): \(4\pi \le \frac{\pi }{2} + \pi k \le 7\pi \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{{7\pi }}{2} \le \pi k \le \frac{{13\pi }}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\frac{7}{2} \le k \le \frac{{13}}{2}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,k = 4,\,\,\,k = 5,\,\,\,k = 6.\) При \(k = 4,\) \(x = \frac{\pi }{2} + 4\pi = \frac{{9\pi }}{2}.\) При \(k = 5,\) \(x = \frac{\pi }{2} + 5\pi = \frac{{11\pi }}{2}.\) При \(k = 6,\) \(x = \frac{\pi }{2} + 6\pi = \frac{{13\pi }}{2}.\) Следовательно, заданному промежутку принадлежат корни: \(\;x = \frac{{9\pi }}{2};\;\;\,\,x = \frac{{11\pi }}{2};\;\;\,\,x = \frac{{13\pi }}{2}.\) Ответ: а) \(\frac{\pi }{2} + \pi k,\;\;k \in Z;\) б) \(\;\frac{{9\pi }}{2};\;\;\frac{{11\pi }}{2};\;\;\frac{{13\pi }}{2}.\)