10В. Решите неравенство  \(2x + 1 — \frac{{21x + 39}}{{{x^2} + x — 2}} \ge -\frac{1}{{x + 2}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — 3; — 2} \right) \cup \left( { — 2;1} \right) \cup \left[ {\frac{7}{2};\infty } \right).\)

Решение

\(2x + 1 — \frac{{21x + 39}}{{{x^2} + x — 2}} \ge  — \frac{1}{{x + 2}}.\)

\({x^2} + x — 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = -2,}\\{{x} = 1.\;\;}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \({x^2} + x — 2 = \left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right).\)

\(2x + 1 — \frac{{21x + 39}}{{{x^2} + x — 2}} \ge  — \frac{1}{{x + 2}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2x + 1}}{1} — \frac{{21x + 39}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\frac{{2{x^3} + 2{x^2} — 4x + {x^2} + x — 2 — 20x — 40}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} + x — 2} \right) — 21x — 39 + x — 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{x^3} + 3{x^2} — 23x — 42}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \ge 0.\)

Найдём нули числителя:  \(2{x^3} + 3{x^2} — 23x — 42 = 0.\)

Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного  \( — 42,\)  то есть: \( \pm 1;\,\,\, \pm 2;\,\,\, \pm 3;\,\,\, \pm 6;\,\,\, \pm 7;\,\,\, \pm 14;\,\,\, \pm 21;\,\,\, \pm 42.\)

Подходит  \(x =  — 2.\)  Разделим многочлен  \(2{x^3} + 3{x^2} — 23x — 42\)  на многочлен  \(x + 2:\)

Следовательно, многочлен  \(2{x^3} + 3{x^2} — 23x — 42\)  раскладывается на множители  \(\left( {2{x^2} — x — 21} \right)\left( {x + 2} \right).\)  Тогда:

\(\left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} — x — 21} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2{x^2} — x — 21 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{x = -3,}\\{x = \frac{7}{2}.\;}\end{array}} \right.\)

Следовательно, неравенство примет вид:

\(\frac{{2\left( {x + 3} \right)\left( {x — \frac{7}{2}} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {2x-7} \right)}}{{x — 1}} \ge 0,}\\{x + 2 \ne 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:   \(x \in \left[ { — 3; — 2} \right) \cup \left( { — 2;1} \right) \cup \left[ {\frac{7}{2};\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left[ { — 3; — 2} \right) \cup \left( { — 2;1} \right) \cup \left[ {\frac{7}{2};\infty } \right).\)