13В. Решите неравенство  \(\dfrac{1}{{5x — 12}} + \dfrac{{2{x^2} — 6x + 1}}{{x — 3}} \ge 2x\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( {\dfrac{{12}}{5};\dfrac{5}{2}} \right] \cup \left( {3;\infty } \right).\)

Решение

\(\dfrac{1}{{5x — 12}} + \dfrac{{2{x^2} — 6x + 1}}{{x — 3}} \ge 2x\;\,\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{1}{{5x — 12}} + \dfrac{{2{x^2} — 6x + 1}}{{x — 3}} — 2x \ge 0\;\;\;\,\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\dfrac{1}{{5x — 12}} + \dfrac{{2{x^2} — 6x + 1 — 2{x^2} + 6x}}{{x — 3}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{5x — 12}} + \dfrac{1}{{x — 3}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\,\;\;\;\dfrac{{x — 3 + 5x — 12}}{{\left( {5x — 12} \right)\left( {x — 3} \right)}} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\,\;\;\dfrac{{6x — 15}}{{\left( {5x — 12} \right)\left( {x — 3} \right)}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {\dfrac{{12}}{5};\dfrac{5}{2}} \right] \cup \left( {3;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {\dfrac{{12}}{5};\dfrac{5}{2}} \right] \cup \left( {3;\infty } \right).\)