14В. Решите неравенство  \(\frac{{{x^2} — 6x + 8}}{{x — 1}} — \frac{{x — 4}}{{{x^2} — 3x + 2}} \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right].\)

Решение

\(\frac{{{x^2} — 6x + 8}}{{x — 1}} — \frac{{x — 4}}{{{x^2} — 3x + 2}} \le 0.\)

\({x^2} — 3x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,}\\{{x} = 1.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \({x^2} — 3x + 2 = \left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right).\)

\({x^2} — 6x + 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,}\\{{x} = 4.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \({x^2} — 6x + 8 = \left( {x — 2} \right)\left( {x — 4} \right).\)

\(\frac{{{x^2} — 6x + 8}}{{x — 1}} — \frac{{x — 4}}{{{x^2} — 3x + 2}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 4} \right)}}{{x — 1}} — \frac{{x — 4}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {x — 2} \right)}^2}\left( {x — 4} \right) — \left( {x — 4} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x — 4} \right)\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2} — 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {x — 2} \right)}^2}\left( {x — 4} \right) — \left( {x — 4} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x — 4} \right)\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2} — 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x — 4} \right)\left( {x — 2 — 1} \right)\left( {x — 2 + 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x — 4} \right)\left( {x — 3} \right)\left( {x — 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {x — 4} \right)\left( {x — 3} \right)}}{{x — 2}} \le 0,}\\{x — 1 \ne 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — \infty ;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right].\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right].\)