14В. Решите неравенство \(\dfrac{{{x^2} — 6x + 8}}{{x — 1}} — \dfrac{{x — 4}}{{{x^2} — 3x + 2}} \le 0\).
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right].\)
\(\dfrac{{{x^2} — 6x + 8}}{{x — 1}} — \dfrac{{x — 4}}{{{x^2} — 3x + 2}} \le 0.\) \({x^2} — 3x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,}\\{{x} = 1.}\end{array}} \right.\) Тогда: \({x^2} — 3x + 2 = \left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right).\) \({x^2} — 6x + 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,}\\{{x} = 4.}\end{array}} \right.\) Тогда: \({x^2} — 6x + 8 = \left( {x — 2} \right)\left( {x — 4} \right).\) \(\dfrac{{{x^2} — 6x + 8}}{{x — 1}} — \dfrac{{x — 4}}{{{x^2} — 3x + 2}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 4} \right)}}{{x — 1}} — \dfrac{{x — 4}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {x — 2} \right)}^2}\left( {x — 4} \right) — \left( {x — 4} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 4} \right)\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2} — 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {x — 2} \right)}^2}\left( {x — 4} \right) — \left( {x — 4} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 4} \right)\left( {{{\left( {x — 2} \right)}^2} — 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 4} \right)\left( {x — 2 — 1} \right)\left( {x — 2 + 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x — 4} \right)\left( {x — 3} \right)\left( {x — 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 1} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {x — 4} \right)\left( {x — 3} \right)}}{{x — 2}} \le 0,}\\{x — 1 \ne 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right].\) Ответ: \(\left( { — \infty ;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left[ {3;4} \right].\) 