15В. Решите неравенство  \(\frac{{{{\left( {5x — 3} \right)}^2}}}{{x — 2}} \ge \frac{{9 — 30x + 25{x^2}}}{{14 — 9x + {x^2}}}\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left\{ {\frac{3}{5}} \right\} \cup \left( {2;7} \right) \cup \left[ {8;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{{{\left( {5x — 3} \right)}^2}}}{{x — 2}} \ge \frac{{9 — 30x + 25{x^2}}}{{14 — 9x + {x^2}}}.\)

\({x^2} — 9x + 14 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 2,}\\{{x} = 7.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \({x^2} — 9x + 14 = \left( {x — 2} \right)\left( {x — 7} \right).\)

\(\frac{{{{\left( {5x — 3} \right)}^2}}}{{x — 2}} \ge \frac{{9 — 30x + 25{x^2}}}{{14 — 9x + {x^2}}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {5x — 3} \right)}^2}}}{{x — 2}} \ge \frac{{{{\left( {5x — 3} \right)}^2}}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 7} \right)}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\(\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {5x — 3} \right)}^2}\left( {x — 7} \right) — {{\left( {5x — 3} \right)}^2}}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 7} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {5x — 3} \right)}^2}\left( {x — 8} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 7} \right)}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left\{ {\frac{3}{5}} \right\} \cup \left( {2;7} \right) \cup \left[ {8;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left\{ {\frac{3}{5}} \right\} \cup \left( {2;7} \right) \cup \left[ {8;\infty } \right).\)