19В. Решите неравенство  \(\frac{{4{x^4} — 4{x^3} + {x^2}}}{{ — 2{x^2} + 5x — 2}} + \frac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} \le 0\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ { — \frac{1}{6};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};1} \right] \cup \left( {2;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{4{x^4} — 4{x^3} + {x^2}}}{{ — 2{x^2} + 5x — 2}} + \frac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} — \frac{{{x^2}\left( {4{x^2} — 4x + 1} \right)}}{{2{x^2} — 5x + 2}} \le 0.\)

\(2{x^2} — 5x + 2 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = \frac{1}{2},}\\{{x} = 2.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \(2{x^2} — 5x + 2 = 2\left( {x — \frac{1}{2}} \right)\left( {x — 2} \right).\)

\(\frac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} — \frac{{{x^2}{{\left( {2x — 1} \right)}^2}}}{{\left( {2x — 1} \right)\left( {x — 2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} — \frac{{{x^2}\left( {2x — 1} \right)}}{{x — 2}} \le 0,}\\{2x — 1 \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{x^3} — 7{x^2} + 5x + 1 — 2{x^3} + {x^2}}}{{x — 2}} \le 0,}\\{2x \ne 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{ — 6{x^2} + 5x + 1}}{{x — 2}} \le 0,}\\{x \ne \frac{1}{2}\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{6{x^2} — 5x — 1}}{{x — 2}} \ge 0,}\\{x \ne \frac{1}{2}.\;\;\;\,\,\;\;\,}\end{array}} \right.\)

\(6{x^2} — 5x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 1,\;\;\;\,}\\{{x} =  — \frac{1}{6}.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \(6{x^2} — 5x — 1 = 6\left( {x — 1} \right)\left( {x + \frac{1}{6}} \right).\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{6{x^2} — 5x — 1}}{{x — 2}} \ge 0,}\\{x \ne \frac{1}{2}\,\,\;\;\;\,\,\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\left( {x — 1} \right)\left( {6x + 1} \right)}}{{x — 2}} \ge 0,}\\{x \ne \frac{1}{2}.\;\;\;\,\,\;\;\;\,\,\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:   \(x \in \left[ { — \frac{1}{6};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};1} \right] \cup \left( {2;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left[ { — \frac{1}{6};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};1} \right] \cup \left( {2;\infty } \right).\)