21В. Решите неравенство \(\dfrac{{{x^2} — 5x — 6}}{{{x^2} — 1}} \le \dfrac{{x — 9}}{{x — 1}} + \dfrac{2}{{x — 3}}\).
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( { — 1;1} \right) \cup \left( {3;7} \right].\)
\(\dfrac{{{x^2} — 5x — 6}}{{{x^2} — 1}} \le \dfrac{{x — 9}}{{x — 1}} + \dfrac{2}{{x — 3}}.\) \({x^2} — 5x — 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = — 1,}\\{{x} = 6.\;\,}\end{array}} \right.\) Тогда: \({x^2} — 5x — 6 = \left( {x + 1} \right)\left( {x — 6} \right).\) \(\dfrac{{{x^2} — 5x — 6}}{{{x^2} — 1}} \le \dfrac{{x — 9}}{{x — 1}} + \dfrac{2}{{x — 3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x — 6} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x — 1} \right)}} — \dfrac{{x — 9}}{{x — 1}} — \dfrac{2}{{x — 3}} \le 0\;\;\,\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x — 6}}{{x — 1}} — \dfrac{{x — 9}}{{x — 1}} — \dfrac{2}{{x — 3}} \le 0,}\\{x + 1 \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x — 6 — x + 9}}{{x — 1}} — \dfrac{2}{{x — 3}} \le 0,}\\{x \ne — 1\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{3}{{x — 1}} — \dfrac{2}{{x — 3}} \le 0,}\\{x \ne — 1\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3x — 9 — 2x + 2}}{{\left( {x — 1} \right)\left( {x — 3} \right)}} \le 0,}\\{x \ne — 1\;\;\;\;\,\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x — 7}}{{\left( {x — 1} \right)\left( {x — 3} \right)}} \le 0,}\\{x \ne — 1.\;\,\,\,\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( { — 1;1} \right) \cup \left( {3;7} \right].\) Ответ: \(\left( { — \infty ; — 1} \right) \cup \left( { — 1;1} \right) \cup \left( {3;7} \right].\) 