22В. Решите неравенство  \(\frac{{{x^2} — 16x + 39}}{{{x^2} — 12x + 27}} \le \frac{{x — 18}}{{x — 9}} + \frac{4}{{x — 8}}\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( { — \infty ;3} \right) \cup \left( {3;4} \right] \cup \left( {8;9} \right).\)

Решение

\(\frac{{{x^2} — 16x + 39}}{{{x^2} — 12x + 27}} \le \frac{{x — 18}}{{x — 9}} + \frac{4}{{x — 8}}.\)

\({x^2} — 12x + 27 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,}\\{{x} = 9.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \({x^2} — 12x + 27 = \left( {x — 3} \right)\left( {x — 9} \right).\)

\({x^2} — 16x + 39 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 3,\;\;}\\{{x} = 13.} \end{array}} \right.\)

Тогда:  \({x^2} — 16x + 39 = \left( {x — 3} \right)\left( {x — 13} \right).\)

\(\frac{{{x^2} — 16x + 39}}{{{x^2} — 12x + 27}} \le \frac{{x — 18}}{{x — 9}} + \frac{4}{{x — 8}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 13} \right)}}{{\left( {x — 3} \right)\left( {x — 9} \right)}} — \frac{{x — 18}}{{x — 9}} — \frac{4}{{x — 8}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x — 13}}{{x — 9}} — \frac{{x — 18}}{{x — 9}} — \frac{4}{{x — 8}} \le 0,}\\{x — 3 \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x — 13 — x + 18}}{{x — 9}} — \frac{4}{{x — 8}} \le 0,}\\{x \ne 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{5}{{x — 9}} — \frac{4}{{x — 8}} \le 0,}\\{x \ne 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{5x — 40 — 4x + 36}}{{\left( {x — 9} \right)\left( {x — 8} \right)}} \le 0,}\\{x \ne 3\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x — 4}}{{\left( {x — 9} \right)\left( {x — 8} \right)}} \le 0,}\\{x \ne 3.\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;}\end{array}} \right.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — \infty ;3} \right) \cup \left( {3;4} \right] \cup \left( {8;9} \right).\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ;3} \right) \cup \left( {3;4} \right] \cup \left( {8;9} \right).\)