24В. Решите неравенство \(\frac{2}{{0,5x\sqrt 5 — 1}} + \frac{{0,5x\sqrt 5 — 2}}{{0,5x\sqrt 5 — 3}} \ge 2\).
\(\frac{2}{{0,5x\sqrt 5 — 1}} + \frac{{0,5x\sqrt 5 — 2}}{{0,5x\sqrt 5 — 3}} \ge 2.\) Пусть \(0,5x\sqrt 5 = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\frac{2}{{t — 1}} + \frac{{t — 2}}{{t — 3}} \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2t — 6 + {t^2} — 2t — t + 2 — 2{t^2} + 6t + 2t — 6}}{{\left( {t — 1} \right)\left( {t — 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{ — {t^2} + 7t — 10}}{{\left( {t — 1} \right)\left( {t — 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2} — 7t + 10}}{{\left( {t — 1} \right)\left( {t — 3} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя: \({t^2} — 7t + 10 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 5,\,}\\{{t} = 2.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(t \ne 1,\;\;\;t \ne 3.\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < t \le 2,\,}\\{3 < t \le 5\;\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < 0,5x\sqrt 5 \le 2,\,}\\{3 < 0,5x\sqrt 5 \le 5\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{0,5\sqrt 5 }} < x \le \frac{2}{{0,5\sqrt 5 }},\,}\\{\frac{3}{{0,5\sqrt 5 }} < x \le \frac{5}{{0,5\sqrt 5 }}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{2}{{\sqrt 5 }} < x \le \frac{4}{{\sqrt 5 }},\,}\\{\frac{6}{{\sqrt 5 }} < x \le 2\sqrt 5 .}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left( {\frac{6}{{\sqrt 5 }};2\sqrt 5 } \right].\) Ответ: \(\left( {\frac{2}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left( {\frac{6}{{\sqrt 5 }};2\sqrt 5 } \right].\)