\(\dfrac{2}{{0,5x\sqrt 5 — 1}} + \dfrac{{0,5x\sqrt 5 — 2}}{{0,5x\sqrt 5 — 3}} \ge 2.\)
Пусть \(0,5x\sqrt 5 = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\(\dfrac{2}{{t — 1}} + \dfrac{{t — 2}}{{t — 3}} \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2t — 6 + {t^2} — 2t — t + 2 — 2{t^2} + 6t + 2t — 6}}{{\left( {t — 1} \right)\left( {t — 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{ — {t^2} + 7t — 10}}{{\left( {t — 1} \right)\left( {t — 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2} — 7t + 10}}{{\left( {t — 1} \right)\left( {t — 3} \right)}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:
\({t^2} — 7t + 10 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 5,\,}\\{{t} = 2.}\end{array}} \right.\)
Найдём нули знаменателя: \(t = 1,\;\;\;t = 3.\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < t \le 2,\,}\\{3 < t \le 5\;\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 < 0,5x\sqrt 5 \le 2,\,}\\{3 < 0,5x\sqrt 5 \le 5\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{{0,5\sqrt 5 }} < x \le \dfrac{2}{{0,5\sqrt 5 }},\,}\\{\dfrac{3}{{0,5\sqrt 5 }} < x \le \dfrac{5}{{0,5\sqrt 5 }}\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{2}{{\sqrt 5 }} < x \le \dfrac{4}{{\sqrt 5 }},\,}\\{\dfrac{6}{{\sqrt 5 }} < x \le 2\sqrt 5 .}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }};\dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};2\sqrt 5 } \right].\)
Ответ: \(\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 5 }};\dfrac{4}{{\sqrt 5 }}} \right] \cup \left( {\dfrac{6}{{\sqrt 5 }};2\sqrt 5 } \right].\)