Профиль №15. Рациональные неравенства. Задача 27Вmath100admin44242025-03-24T16:35:45+03:00
27В. Решите неравенство \(\dfrac{{{x^2} — 3x — 5}}{{x — 4}} + \dfrac{{{x^2} — 6x + 3}}{{x — 6}} \le 2x + 1\).
Ответ
ОТВЕТ: \(\left( { — \infty ;3} \right] \cup \left( {4;6} \right).\)
Решение
\(\dfrac{{{x^2} — 3x — 5}}{{x — 4}} + \dfrac{{{x^2} — 6x + 3}}{{x — 6}} \le 2x + 1.\)
Выделим целые части дробей \(\dfrac{{{x^2} — 3x — 5}}{{x — 4}}\) и \(\dfrac{{{x^2} — 6x + 3}}{{x — 6}}\) с помощью деления уголком:
\(\dfrac{{{x^2} — 3x — 5}}{{x — 4}} + \dfrac{{{x^2} — 6x + 3}}{{x — 6}} \le 2x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + 1 + \dfrac{{ — 1}}{{x — 4}} + x + \dfrac{3}{{x — 6}} \le 2x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{3}{{x — 6}} — \dfrac{1}{{x — 4}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{3x — 12 — x + 6}}{{\left( {x — 6} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x — 6}}{{\left( {x — 6} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ;3} \right] \cup \left( {4;6} \right).\)
Ответ: \(\left( { — \infty ;3} \right] \cup \left( {4;6} \right).\)