27В. Решите неравенство \(\frac{{{x^2} — 3x — 5}}{{x — 4}} + \frac{{{x^2} — 6x + 3}}{{x — 6}} \le 2x + 1\).
\(\frac{{{x^2} — 3x — 5}}{{x — 4}} + \frac{{{x^2} — 6x + 3}}{{x — 6}} \le 2x + 1.\) Выделим целые части дробей \(\frac{{{x^2} — 3x — 5}}{{x — 4}}\) и \(\frac{{{x^2} — 6x + 3}}{{x — 6}}\) с помощью деления уголком: \(\frac{{{x^2} — 3x — 5}}{{x — 4}} + \frac{{{x^2} — 6x + 3}}{{x — 6}} \le 2x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x + 1 + \frac{{ — 1}}{{x — 4}} + x + \frac{3}{{x — 6}} \le 2x + 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{3}{{x — 6}} — \frac{1}{{x — 4}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3x — 12 — x + 6}}{{\left( {x — 6} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2x — 6}}{{\left( {x — 6} \right)\left( {x — 4} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ;3} \right] \cup \left( {4;6} \right).\) Ответ: \(\left( { — \infty ;3} \right] \cup \left( {4;6} \right).\)
