\(\dfrac{{x{}^2 — 2x — 2}}{{{x^2} — 2x}} + \dfrac{{7x — 19}}{{x — 3}} \le \dfrac{{8x + 1}}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x{}^2 — 2x}}{{{x^2} — 2x}} — \dfrac{2}{{{x^2} — 2x}} + \dfrac{{7x — 21 + 2}}{{x — 3}} \le \dfrac{{8x}}{x} + \dfrac{1}{x}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;1 — \dfrac{2}{{x\left( {x — 2} \right)}} + \dfrac{{7\left( {x — 3} \right)}}{{x — 3}} + \dfrac{2}{{x — 3}} \le 8 + \dfrac{1}{x}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;1 — \dfrac{2}{{x\left( {x — 2} \right)}} + 7 + \dfrac{2}{{x — 3}} \le 8 + \dfrac{1}{x}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\dfrac{2}{{x — 3}}\; — \dfrac{2}{{x\left( {x — 2} \right)}} — \dfrac{1}{x} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2x\left( {x — 2} \right) — 2\left( {x — 3} \right) — \left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)}}{{x\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{2{x^2} — 4x — 2x + 6 — {x^2} + 3x + 2x — 6}}{{x\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{x^2} — x}}{{x\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x\left( {x — 1} \right)}}{{x\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x — 1}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x — 3} \right)}} \le 0,}\\{x \ne 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left( {0;1} \right] \cup \left( {2;3} \right).\)
Ответ: \(\left( { — \infty ;\;0} \right) \cup \left( {0;1} \right] \cup \left( {2;3} \right).\)