29В. Решите неравенство  \({\left( {\frac{{10}}{{5x — 21}} + \frac{{5x — 21}}{{10}}} \right)^2} \le \frac{{25}}{4}\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left[ {\frac{1}{5};\;\frac{{16}}{5}} \right] \cup \left[ {\frac{{26}}{5};\;\frac{{41}}{5}} \right].\)

Решение

\({\left( {\frac{{10}}{{5x — 21}} + \frac{{5x — 21}}{{10}}} \right)^2} \le \frac{{25}}{4}.\)

Пусть  \(\frac{{5x — 21}}{{10}} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\({\left( {\frac{1}{t} + t} \right)^2} \le \frac{{25}}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2 \cdot t \cdot \frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}} \le \frac{{25}}{4}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2 + \frac{1}{{{t^2}}} — \frac{{25}}{4} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + \frac{1}{{{t^2}}} — \frac{{17}}{4} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4{t^4} — 17{t^2} + 4}}{{4{t^2}}} \le 0.\)

\(4{t^4} — 17{t^2} + 4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t^2 = 4,\,}\\{t^2 = \frac{1}{4}.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \(4{t^4} — 17{t^2} + 4 = 4\left( {{t^2} — 4} \right)\left( {{t^2} — \frac{1}{4}} \right).\)

\(\frac{{4{t^4} — 17{t^2} + 4}}{{4{t^2}}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {{t^2} — 4} \right)\left( {4{t^2} — 1} \right)}}{{{t^2}}} \le 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {t — 2} \right)\left( {t + 2} \right)\left( {2t — 1} \right)\left( {2t + 1} \right)}}{{{t^2}}} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 \le t \le  — \frac{1}{2},}\\{\frac{1}{2} \le t \le 2\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 2 \le \frac{{5x — 21}}{{10}} \le  — \frac{1}{2},}\\{\frac{1}{2} \le \frac{{5x — 21}}{{10}} \le 2\;\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le 5x \le 16,\;\,}\\{26 \le 5x \le 41}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{5} \le x \le \frac{{16}}{5},\,\,\,}\\{\frac{{26}}{5} \le x \le \frac{{41}}{5}.}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {\frac{1}{5};\;\frac{{16}}{5}} \right] \cup \left[ {\frac{{26}}{5};\;\frac{{41}}{5}} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {\frac{1}{5};\;\frac{{16}}{5}} \right] \cup \left[ {\frac{{26}}{5};\;\frac{{41}}{5}} \right].\)