3В. Решите неравенство  \({x^2} — 3x + 1 — \frac{{{x^3} + {x^2} + 3x — 21}}{x} \ge 3\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left( {0;\frac{7}{4}} \right]\).

Решение

\({x^2} — 3x + 1 — \frac{{{x^3} + {x^2} + 3x — 21}}{x} \ge 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^3} — 3{x^2} + x — {x^3} — {x^2} — 3x + 21 — 3x}}{x} \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{ — 4{x^2} — 5x + 21}}{x} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4{x^2} + 5x — 21}}{x} \le 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя:

\(4{x^2} + 5x — 21 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} =  — 3,}\\{{x} = \frac{7}{4}.\;}\end{array}} \right.\)

Найдём нули знаменателя:  \(x \ne 0.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left( {0;\frac{7}{4}} \right].\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ; — 3} \right] \cup \left( {0;\frac{7}{4}} \right]\).