30В. Решите неравенство  \({\left( {\frac{2}{{25{x^2} — 10x — 8}} + \frac{{25{x^2} — 10x — 8}}{2}} \right)^2} \ge 4\).

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( { — \infty ;\; — \frac{2}{5}} \right) \cup \left( { — \frac{2}{5};\;\frac{4}{5}} \right) \cup \left( {\frac{4}{5};\infty } \right).\)

Решение

\({\left( {\frac{2}{{25{x^2} — 10x — 8}} + \frac{{25{x^2} — 10x — 8}}{2}} \right)^2} \ge 4.\)

Пусть  \(\frac{{25{x^2} — 10x — 8}}{2} = t.\)  Тогда неравенство примет вид:

\({\left( {\frac{1}{t} + t} \right)^2} \ge 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2 \cdot t \cdot \frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}} \ge 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2 + \frac{1}{{{t^2}}} — 4 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + \frac{1}{{{t^2}}} — 2 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\frac{{{t^4} — 2{t^2} + 1}}{{{t^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{{\left( {{t^2} — 1} \right)}^2}}}{{{t^2}}} \ge 0.\)

Решение последнего неравенства:  \(t \ne 0.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\frac{{25{x^2} — 10x — 8}}{2} \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;25{x^2} — 10x — 8 \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} \ne  — \frac{2}{5},}\\{{x} \ne \frac{4}{5}.\;\;\,}\end{array}} \right.\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — \infty ;\; — \frac{2}{5}} \right) \cup \left( { — \frac{2}{5};\;\frac{4}{5}} \right) \cup \left( {\frac{4}{5};\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( { — \infty ;\; — \frac{2}{5}} \right) \cup \left( { — \frac{2}{5};\;\frac{4}{5}} \right) \cup \left( {\frac{4}{5};\infty } \right).\)