\({\left( {\dfrac{2}{{25{x^2} — 10x — 8}} + \dfrac{{25{x^2} — 10x — 8}}{2}} \right)^2} \ge 4.\)
Пусть \(\dfrac{{25{x^2} — 10x — 8}}{2} = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\({\left( {\dfrac{1}{t} + t} \right)^2} \ge 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2 \cdot t \cdot \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{{t^2}}} \ge 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2 + \dfrac{1}{{{t^2}}} — 4 \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + \dfrac{1}{{{t^2}}} — 2 \ge 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\dfrac{{{t^4} — 2{t^2} + 1}}{{{t^2}}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{{\left( {{t^2} — 1} \right)}^2}}}{{{t^2}}} \ge 0.\)
Решение последнего неравенства: \(t \ne 0.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\dfrac{{25{x^2}-10x-8}}{2} \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;25{x^2}-10x-8 \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -\dfrac{2}{5},}\\{x \ne \dfrac{4}{5}.\;\;\,}\end{array}} \right.\)
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — \infty ;\; — \dfrac{2}{5}} \right) \cup \left( { — \dfrac{2}{5};\;\dfrac{4}{5}} \right) \cup \left( {\dfrac{4}{5};\infty } \right).\)
Ответ: \(\left( { — \infty ;\; — \dfrac{2}{5}} \right) \cup \left( { — \dfrac{2}{5};\;\dfrac{4}{5}} \right) \cup \left( {\dfrac{4}{5};\infty } \right).\)