34В. Решите неравенство \({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} < \frac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}}\)
\({x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} < \frac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + {x^2} + 4x + 4 < \frac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;2\left( {{x^2} + 2x} \right) + 4 < \frac{{60}}{{{x^2} + 2x + 3}}.\) Пусть \({x^2} + 2x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(2t + 4 < \frac{{60}}{{t + 3}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2} + 5t — 24}}{{t + 3}} < 0.\) \({t^2} + 5t — 24 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 3,\;\;}\\{{t} = — 8.}\end{array}} \right.\) Тогда: \({t^2} + 5t — 24 = \left( {t — 3} \right)\left( {t + 8} \right).\) \(\frac{{{t^2} + 5t — 24}}{{t + 3}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {t — 3} \right)\left( {t + 8} \right)}}{{t + 3}} < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < — 8,\;\;\;\;}\\{ — 3 < t < 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x < — 8,\;\;\;\;}\\{ — 3 < {x^2} + 2x < 3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + 8 < 0,\;\;}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + 3 > 0,}\\{{x^2} + 2x — 3 < 0\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\,\,\,\,\,\,\;\;}\\{ — 3 < x < 1.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — 3;1} \right).\) Ответ: \(\left( { — 3;1} \right).\)