35В. Решите неравенство  \({x^3} — \frac{1}{{{x^3}}} \ge 4\left( {x — \frac{1}{x}} \right)\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left[ {\frac{{ — 1 — \sqrt 5 }}{2}; — 1} \right] \cup \left[ {\frac{{1 — \sqrt 5 }}{2};0} \right) \cup \left[ {\frac{{\sqrt 5  — 1}}{2};1} \right] \cup \left[ {\frac{{\sqrt 5  + 1}}{2};\infty } \right).\)

Решение

\({x^3} — \frac{1}{{{x^3}}} \ge 4\left( {x — \frac{1}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x — \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^2} + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \ge 4\left( {x — \frac{1}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x — \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \ge 4\left( {x — \frac{1}{x}} \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x — \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^2} — 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {\frac{{{x^2} — 1}}{x}} \right)\left( {\frac{{{x^4} — 3{x^2} + 1}}{{{x^2}}}} \right) \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x — 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} — 3{x^2} + 1} \right)}}{{{x^3}}} \ge 0.\)

\({x^4} — 3{x^2} + 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;D = 9 — 4 = 5,\;\;\;\;\sqrt D  = \sqrt 5 \;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x^2 = \frac{{3 — \sqrt 5 }}{2},}\\{x^2 = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}.}\end{array}} \right.\)

Так как  \(\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} = \frac{{6 \pm 2\sqrt 5 }}{4} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} \pm 2\sqrt 5  + {1^2}}}{4} = {\left( {\frac{{\sqrt 5  \pm 1}}{2}} \right)^2},\)  то:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x^2 = {{\left( {\frac{{\sqrt 5  — 1}}{2}} \right)}^2},}\\{x^2 = {{\left( {\frac{{\sqrt 5  + 1}}{2}} \right)}^2}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  \pm \frac{{\sqrt 5  — 1}}{2},}\\{x =  \pm \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2}.}\end{array}} \right.\;\;\)

Следовательно, последнее неравенство примет вид:

\(\frac{{\left( {x — 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x — \frac{{ — 1 — \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {x — \frac{{1 — \sqrt 5 }}{2}} \right)\left( {x — \frac{{\sqrt 5  — 1}}{2}} \right)\left( {x — \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)}}{{{x^3}}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:

\(x \in \left[ {\frac{{ — 1 — \sqrt 5 }}{2}; — 1} \right] \cup \left[ {\frac{{1 — \sqrt 5 }}{2};0} \right) \cup \left[ {\frac{{\sqrt 5  — 1}}{2};1} \right] \cup \left[ {\frac{{\sqrt 5  + 1}}{2};\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left[ {\frac{{ — 1 — \sqrt 5 }}{2}; — 1} \right] \cup \left[ {\frac{{1 — \sqrt 5 }}{2};0} \right) \cup \left[ {\frac{{\sqrt 5  — 1}}{2};1} \right] \cup \left[ {\frac{{\sqrt 5  + 1}}{2};\infty } \right).\)