36В. Решите неравенство \(\frac{4}{{{x^2} — x}} \ge {x^2} — x\)
\(\frac{4}{{{x^2} — x}} \ge {x^2} — x.\) Пусть \({x^2} — x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(\frac{4}{t} \ge t\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2} — 4}}{t} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {t — 2} \right)\left( {t + 2} \right)}}{t} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \le — 2,\,\;\;}\\{0 < t \le 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} — x \le — 2,\,\;\;}\\{0 < {x^2} — x \le 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} — x + 2 \le 0,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} — x > 0,}\\{{x^2} — x \le 2}\end{array}\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x — 1} \right) > 0,\;}\\{{x^2} — x — 2 \le 0}\end{array}\;\;\;} \right.}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x — 1} \right) > 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x + 1} \right)\left( {x — 2} \right) \le 0}\end{array}\;\;\;\;} \right. \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( { — \infty ;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right),}\\{x \in \left[ { — 1;2} \right].\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Найдем общее решение последней системы: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ { — 1;\;0} \right) \cup \left( {1;2} \right].\) Ответ: \(\left[ { — 1;\;0} \right) \cup \left( {1;2} \right].\)
