37В. Решите неравенство \({x^2} — 6x + \frac{{17}}{{{x^2} — 6x + 8}} < 0\)
\({x^2} — 6x + \frac{{17}}{{{x^2} — 6x + 8}} < 0.\) Пусть \({x^2} — 6x = t.\) Тогда неравенство примет вид: \(t + \frac{{17}}{{t + 8}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2} + 8t + 17}}{{t + 8}} < 0.\) Так как дискриминант квадратного трёхчлена \({t^2} + 8t + 17\) меньше нуля, то \({t^2} + 8t + 17 > 0\) при \(t \in R.\) Тогда: \(\frac{{{t^2} + 8t + 17}}{{t + 8}} < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t + 8 < 0.\) Вернёмся к прежней переменной: \({x^2} — 6x + 8 < 0.\) \({x^2} — 6x + 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 4,}\\{{x} = 2.}\end{array}} \right.\) \({x^2} — 6x + 8 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x — 4} \right)\left( {x — 2} \right) < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {2;\;4} \right).\) Ответ: \(\left( {2;\;4} \right).\)