\({\left( {{x^2} + 4x + 10} \right)^2} — 7\left( {{x^2} + 4x + 11} \right) + 7 < 0.\)
Пусть \({x^2} + 4x + 10 = t.\) Тогда неравенство примет вид:
\({t^2} — 7\left( {t + 1} \right) + 7 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} — 7t < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t — 7} \right) < 0.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left( {{x^2} + 4x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4x + 3} \right) < 0.\)
Так как дискриминант квадратного трёхчлена \({x^2} + 4x + 10\) меньше нуля, то\({x^2} + 4x + 10 > 0\) при \(x \in R.\) Тогда:
\(\left( {{x^2} + 4x + 10} \right)\left( {{x^2} + 4x + 3} \right) < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 4x + 3 < 0.\)
\({x^2} + 4x + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = — 1,\,}\\{{x} = — 3.}\end{array}} \right.\)
\({x^2} + 4x + 3 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) < 0.\)
Решим полученное неравенство методом интервалов:
Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — 3; — 1} \right).\)
Ответ: \(\left( { — 3; — 1} \right).\)