39В. Решите неравенство  \(\frac{1}{{{x^2} — 4}} + \frac{4}{{2{x^2} + 7x + 6}} \le \frac{1}{{2x + 3}} + \frac{4}{{2{x^3} + 3{x^2} — 8x — 12}}\)

Ответ

ОТВЕТ:  \(\left( { — 2; — \frac{3}{2}} \right) \cup \left[ {1;2} \right) \cup \left[ {5;\infty } \right).\)

Решение

\(2{x^2} + 7x + 6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} =  — \frac{3}{2},}\\{{x} =  — 2.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \(2{x^2} + 7x + 6 = 2\left( {x + \frac{3}{2}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\(2{x^3} + 3{x^2} — 8x — 12 = {x^2}\left( {2x + 3} \right) — 4\left( {2x + 3} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} — 4} \right) = \left( {2x + 3} \right)\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)

\(\frac{1}{{{x^2} — 4}} + \frac{4}{{2{x^2} + 7x + 6}} \le \frac{1}{{2x + 3}} + \frac{4}{{2{x^3} + 3{x^2} — 8x — 12}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{4}{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} — \frac{1}{{2x + 3}} — \frac{4}{{\left( {2x + 3} \right)\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2x + 3 + 4\left( {x — 2} \right) — \left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right) — 4}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \le 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\frac{{2x + 3 + 4x — 8 — {x^2} + 4 — 4}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\frac{{ — {x^2} + 6x — 5}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\frac{{{x^2} — 6x + 5}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \ge 0.\)

\({x^2} — 6x + 5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 5,}\\{{x} = 1.}\end{array}} \right.\)

Тогда:  \({x^2} — 6x + 5 = \left( {x — 5} \right)\left( {x — 1} \right).\)

\(\frac{{{x^2} — 6x + 5}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{\left( {x — 5} \right)\left( {x — 1} \right)}}{{\left( {x — 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \ge 0.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( { — 2; — \frac{3}{2}} \right) \cup \left[ {1;2} \right) \cup \left[ {5;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( { — 2; — \frac{3}{2}} \right) \cup \left[ {1;2} \right) \cup \left[ {5;\infty } \right).\)