4В. Решите неравенство \({x^2} — x + 3 — \frac{{{x^3} + 4{x^2} — 3x — 1}}{x} \le 2\).
\({x^2} — x + 3 — \frac{{{x^3} + 4{x^2} — 3x — 1}}{x} \le 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^3} — {x^2} + 3x — {x^3} — 4{x^2} + 3x + 1 — 2x}}{x} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)\(\frac{{ — 5{x^2} + 4x + 1}}{x} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{5{x^2} — 4x — 1}}{x} \ge 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя: \(5{x^2} — 4x — 1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x} = 1,\;\;\;\,}\\{{x} = — \frac{1}{5}.}\end{array}} \right.\) Найдём нули знаменателя: \(x \ne 0.\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ { — \frac{1}{5};0} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ { — \frac{1}{5};0} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right).\)