40В. Решите неравенство \( — \frac{2}{{x + 2}} < \frac{1}{{x — 1}} \le — \frac{1}{{2x}}\)
\( — \frac{2}{{x + 2}} < \frac{1}{{x — 1}} \le — \frac{1}{{2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{{x — 1}} \le — \frac{1}{{2x}},\,\,\,\,\,}\\{\frac{1}{{x — 1}} > — \frac{2}{{x + 2}}.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство системы: \(\frac{1}{{x — 1}} \le — \frac{1}{{2x}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2x + x — 1}}{{2x\left( {x — 1} \right)}} \le 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3x — 1}}{{2x\left( {x — 1} \right)}} \le 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Решением данного неравенства является: \(x\, \in \,\left( { — \infty ;0} \right) \cup \left[ {\frac{1}{3};1} \right).\) Рассмотрим второе неравенство системы: \(\frac{1}{{x — 1}} > — \frac{2}{{x + 2}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{x + 2 + 2x — 2}}{{\left( {x — 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} > 0\,\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3x}}{{\left( {x — 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} > 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Решением данного неравенства является: \(x\, \in \,\left( { — 2;0} \right) \cup \left( {1;\infty } \right).\) Найдём общее решение: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( { — 2;0} \right).\) Ответ: \(\left( { — 2;0} \right).\)
