41В. Решите неравенство \( — 9 < {x^4} — 10{x^2} \le 56\)
\( — 9 < {x^4} — 10{x^2} \le 56\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} — 10{x^2} > — 9,}\\{{x^4} — 10{x^2} \le 56.}\end{array}} \right.\) Пусть \({x^2} = t,\;\;\;\;t > 0.\) Тогда система неравенств примет вид: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2} — 10t + 9 > 0,\,\,}\\{{t^2} — 10t — 56 \le 0.}\end{array}} \right.\) \({t^2} — 10t + 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 9,}\\{{t} = 1.}\end{array}} \right.\) Тогда: \({t^2} — 10t + 9 = \left( {t — 9} \right)\left( {t — 1} \right).\) \({t^2} — 10t — 56 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t} = 14,\,}\\{{t} = — 4.}\end{array}} \right.\) Тогда: \({t^2} — 10t — 56 = \left( {t — 14} \right)\left( {t + 4} \right).\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2} — 10t + 9 > 0,\,\,}\\{{t^2} — 10t — 56 \le 0\,}\end{array}} \right.\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {t — 9} \right)\left( {t — 1} \right) > 0,\,\,\,}\\{\left( {t — 14} \right)\left( {t + 4} \right) \le 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство последней системы: \(\left( {t — 9} \right)\left( {t — 1} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t < 1,\,}\\{t > 9.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} < 1,\,}\\{{x^2} > 9\,\,}\end{array}\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 1 < x < 1,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x < — 3,\;\;\;\;\,}\\{x > 3.\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}}\end{array}} \right.\) Решением первого неравенства последней системы является: \(x\, \in \,\left( { — \infty ; — 3} \right) \cup \left( { — 1;1} \right) \cup \left( {3;\infty } \right).\) Рассмотрим второе неравенство последней системы: \(\left( {t — 14} \right)\left( {t + 4} \right) \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; — 4 \le t \le 14.\) Вернёмся к прежней переменной: \( — 4 \le {x^2} \le 14\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \ge — 4,}\\{{x^2} \le 14\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in R,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\;\,\,\;\;\,\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x — \sqrt {14} } \right)\left( {x + \sqrt {14} } \right) \le 0.}\end{array}} \right.\) Решением второго неравенства последней системы является: \(x\, \in \,\left[ { — \sqrt {14} ;\sqrt {14} } \right].\) Найдём общее решение: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ { — \sqrt {14} ; — 3} \right) \cup \left( { — 1;1} \right) \cup \left( {3;\sqrt {14} } \right].\) Ответ: \(\left[ { — \sqrt {14} ; — 3} \right) \cup \left( { — 1;1} \right) \cup \left( {3;\sqrt {14} } \right].\)