42В. Решите неравенство \(3 < \frac{{7{x^2} — 5x + 7}}{{{x^2} + 1}} < 6\)
\(3 < \frac{{7{x^2} — 5x + 7}}{{{x^2} + 1}} < 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{7{x^2} — 5x + 7}}{{{x^2} + 1}} > 3,}\\{\frac{{7{x^2} — 5x + 7}}{{{x^2} + 1}} < 6\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{7{x^2} — 5x + 7 — 3{x^2} — 3}}{{{x^2} + 1}} > 0,}\\{\frac{{7{x^2} — 5x + 7 — 6{x^2} — 6}}{{{x^2} + 1}} < 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{4{x^2} — 5x + 4}}{{{x^2} + 1}} > 0,}\\{\frac{{{x^2} — 5x + 1}}{{{x^2} + 1}} < 0.\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\) Так как дискриминант квадратного трёхчлена \(4{x^2} — 5x + 4\) меньше нуля, то \(4{x^2} — 5x + 4 > 0,\;\;\;\;{x^2} + 1 > 0\) при \(x \in R.\) Тогда: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{4{x^2} — 5x + 4}}{{{x^2} + 1}} > 0,}\\{\frac{{{x^2} — 5x + 1}}{{{x^2} + 1}} < 0\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} — 5x + 1 < 0.\) \({x^2} — 5x + 1 < 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x — \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\left( {x — \frac{{5 — \sqrt {21} }}{2}} \right) < 0.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\frac{{5 — \sqrt {21} }}{2};\;\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right).\) Ответ: \(\left( {\frac{{5 — \sqrt {21} }}{2};\;\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}} \right).\)