1В. Решите неравенство \(\left| {\frac{{{x^2}-5x + 4}}{{{x^2}-4}}} \right| \le 1\).
\(\left| {\frac{{{x^2}-5x + 4}}{{{x^2}-4}}} \right| \le 1.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le a\) при \(a \ge 0\) равносильно двойному неравенству: \(-a \le f\left( x \right) \le a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le a,\;\,}\\{f\left( x \right) \ge -a.}\end{array}} \right.\) \(\left| {\frac{{{x^2}-5x + 4}}{{{x^2}-4}}} \right| \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 \le \frac{{{x^2}-5x + 4}}{{{x^2}-4}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-5x + 4}}{{{x^2}-4}} \le 1,\;\,}\\{\frac{{{x^2}-5x + 4}}{{{x^2}-4}} \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-5x + 4-{x^2} + 4}}{{{x^2}-4}} \le 0,}\\{\frac{{{x^2}-5x + 4 + {x^2}-4}}{{{x^2}-4}} \ge 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{5x-8}}{{{x^2}-4}} \ge 0,\;\;\,}\\{\frac{{2{x^2}-5x}}{{{x^2}-4}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{5x-8}}{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \ge 0,}\\{\frac{{x\left( {2x-5} \right)}}{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \ge 0.}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство полученной системы: \(\frac{{5x-8}}{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \ge 0.\) Следовательно, \(x \in \left( {-2;1,6} \right] \cup \left( {2;\infty } \right).\) Решим второе неравенство полученной системы: \(\frac{{x\left( {2x-5} \right)}}{{\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \ge 0.\) Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left[ {0;2} \right) \cup \left[ {2,5;\infty } \right).\) Найдём общее решение системы: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {0;\;1,6} \right] \cup \left[ {2,5;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {0;\;1,6} \right] \cup \left[ {2,5;\;\infty } \right).\)
