11В. Решите неравенство \(\left| {\left| {\frac{{x-3}}{{x + 1}}} \right|-2} \right| < 1\).
\(\left| {\left| {\frac{{x-3}}{{x + 1}}} \right|-2} \right| < 1.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| < a\) при \(a > 0\) равносильно двойному неравенству: \(-a < f\left( x \right) < a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < a,\;\,}\\{f\left( x \right) > -a.}\end{array}} \right.\) \(\left| {\left| {\frac{{x-3}}{{x + 1}}} \right|-2} \right| < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 < \left| {\frac{{x-3}}{{x + 1}}} \right|-2 < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\;1 < \left| {\frac{{x-3}}{{x + 1}}} \right| < 3\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\frac{{x-3}}{{x + 1}}} \right| < 3,}\\{\left| {\frac{{x-3}}{{x + 1}}} \right| > 1.}\end{array}} \right.\) Решим первое неравенство системы. \(\left| {\frac{{x-3}}{{x + 1}}} \right| < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-3 < \frac{{x-3}}{{x + 1}} < 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-3}}{{x + 1}} < 3,\;}\\{\frac{{x-3}}{{x + 1}} > -3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-3-3x-3}}{{x + 1}} < 0,}\\{\frac{{x-3 + 3x + 3}}{{x + 1}} > 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2x + 6}}{{x + 1}} > 0,}\\{\frac{{4x}}{{x + 1}} > 0\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {-1;\infty } \right),}\\{x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\;\,\,}\end{array}} \right.\) Следовательно, \(x \in \left( {-\infty ;-3} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Решим второе неравенство системы. Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| > a\) при \(a \ge 0\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < -a,\;\,}\\{f\left( x \right) > a.\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) \(\left| {\frac{{x-3}}{{x + 1}}} \right| > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-3}}{{x + 1}} > 1,\;}\\{\frac{{x-3}}{{x + 1}} < -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-3-x-1}}{{x + 1}} > 0,}\\{\frac{{x-3 + x + 1}}{{x + 1}} < 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{4}{{x + 1}} < 0,\,\;}\\{\frac{{2x-2}}{{x + 1}} < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-1} \right),}\\{x \in \left( {-1;1} \right)\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-1} \right) \cup \left( {-1;1} \right).\) Найдём общее решение: Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;-3} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;-3} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\)
