12В. Решите неравенство  \(\left| {\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right|-3} \right| \ge 2\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-\frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{{11}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\frac{8}{9}} \right] \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\left| {\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right|-3} \right| \ge 2.\)

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le -a,}\\{f\left( x \right) \ge a.\;\;}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right|-3} \right| \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right|-3 \le -2,}\\{\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right|-3 \ge 2\,\,\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right| \le 1,\,}\\{\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right| \ge 5.}\end{array}} \right.\)

Решим первое неравенство совокупности.

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно двойному неравенству:

\(-a \le f\left( x \right) \le a\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le a,\;\,}\\{f\left( x \right) \ge -a.}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right| \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-1 \le \frac{{x + 3}}{{2x-1}} \le 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x + 3}}{{2x-1}} \le 1,\;\,}\\{\frac{{x + 3}}{{2x-1}} \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x + 3-2x + 1}}{{2x-1}} \le 0,}\\{\frac{{x + 3 + 2x-1}}{{2x-1}} \ge 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-4}}{{2x-1}} \ge 0,}\\{\frac{{3x + 2}}{{2x-1}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {4;\infty } \right),\;\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-\frac{2}{3}} \right] \cup \left( {\frac{1}{2};\infty } \right).}\end{array}} \right.\)

Найдём общее решение последней системы:

Следовательно,  \(x \in \left( {-\infty ;-\frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right).\)

Решим второе неравенство совокупности.

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le -a,\;\,}\\{f\left( x \right) \ge a.\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right| \ge 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x + 3}}{{2x-1}} \le -5,}\\{\frac{{x + 3}}{{2x-1}} \ge 5\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x + 3 + 10x-5}}{{2x-1}} \le 0,}\\{\,\frac{{x + 3-10x + 5}}{{2x-1}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{11x-2}}{{2x-1}} \le 0,}\\{\frac{{9x-8}}{{2x-1}} \le 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left[ {\frac{2}{{11}};\frac{1}{2}} \right),}\\{x \in \left( {\frac{1}{2};\frac{8}{9}} \right]\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {\frac{2}{{11}};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\frac{8}{9}} \right].\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right| \le 1,}\\{\left| {\frac{{x + 3}}{{2x-1}}} \right| \ge 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-\frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right),}\\{x \in \left[ {\frac{2}{{11}};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\frac{8}{9}} \right]\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-\frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{{11}};\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\frac{8}{9}} \right] \cup \left[ {4;\infty } \right)\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:

\(x \in \left( {-\infty ;\;-\frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{{11}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\frac{8}{9}} \right] \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;-\frac{2}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{2}{{11}};\;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2};\;\frac{8}{9}} \right] \cup \left[ {4;\;\infty } \right).\)