14В. Решите неравенство  \(3\left| {x + 2} \right|-4\left| {x + 1} \right| \ge 2\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-\frac{8}{7};\;0} \right].\)

Решение

\(3\left| {x + 2} \right|-4\left| {x + 1} \right| \ge 2.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов:

\(3\left| {x + 2} \right|-4\left| {x + 1} \right| \ge 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-3x-6 + 4x + 4 \ge 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x \le -1,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{3x + 6 + 4x + 4 \ge 2}\end{array}\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{3x + 6-4x-4 \ge 2.}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-3x-6 + 4x + 4 \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,}\\{x \ge 4\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x \le -1,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{3x + 6 + 4x + 4 \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\,\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x \le -1,}\\{7x \ge -8\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x \le -1,}\\{x \ge -\frac{8}{7}\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-\frac{8}{7};-1} \right].\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{3x + 6-4x-4 \ge 2}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,}\\{x \le 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-1;0} \right].\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-3x-6 + 4x + 4 \ge 2}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x \le -1,\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{3x + 6 + 4x + 4 \ge 2}\end{array}\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,}\\{3x + 6-4x-4 \ge 2.}\end{array}\;\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left[ {-\frac{8}{7};-1} \right],}\\{x \in \left( {-1;0} \right]\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-\frac{8}{7};0} \right].\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {-\frac{8}{7};\;0} \right].\)

Ответ:  \(\left[ {-\frac{8}{7};\;0} \right].\)