16В. Решите неравенство  \(\left| {x-1} \right| + \left| {2-x} \right| > 3 + x\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {6;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\left| {x-1} \right| + \left| {2-x} \right| > 3 + x.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов:

\(\left| {x-1} \right| + \left| {2-x} \right| > 3 + x\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1 + 2-x > 3 + x}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\,\;\;\;\,\,\;\,\;\;\;\,}\\{x-1 + 2-x > 3 + x}\end{array}\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x-1-2 + x > 3 + x.}\end{array}\,\;} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1 + 2-x > 3 + x}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,}\\{x < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;0} \right).\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\,\;\;\;\,\,\;\,\;\;\;\,}\\{x-1 + 2-x > 3 + x}\end{array}} \right.\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,}\\{x < -2\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{x-1-2 + x > 3 + x}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,}\\{x > 6\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {6;\;\infty } \right).\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{-x + 1 + 2-x > 3 + x}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\,\;\;\;\,\,\;\,\;\;\;\,}\\{x-1 + 2-x > 3 + x}\end{array}\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x-1-2 + x > 3 + x\,}\end{array}\,\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;0} \right),}\\{x \in \left( {6;\infty } \right)\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {6;\;\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {6;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {6;\;\infty } \right).\)