18В. Решите неравенство \(\left| {x-4} \right| + \left| {x + 1} \right| < 7\).
ОТВЕТ: \(\left( {-2;\;5} \right).\)
\(\left| {x-4} \right| + \left| {x + 1} \right| < 7.\) Решим исходное неравенство методом интервалов: \(\left| {x-4} \right| + \left| {x + 1} \right| < 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x + 4-x-1 < 7}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 4,\,\;\;\;\;\;\;\,\,\;\,}\\{-x + 4 + x + 1 < 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 4,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x-4 + x + 1 < 7.}\end{array}\,\;} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x + 4-x-1 < 7}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\;\,}\\{-2x < 4}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,}\\{x > -2\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;-1} \right).\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 4,\,\;\;\;\;\;\;\,\,\;\,}\\{-x + 4 + x + 1 < 7}\end{array}} \right.\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 4,}\\{5 < 7\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {-1;4} \right].\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 4,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x-4 + x + 1 < 7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 4,\;\;\,}\\{2x < 10}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 4,}\\{x < 5\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {4;5} \right).\) Следовательно: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -1,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x + 4-x-1 < 7}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-1 \le x \le 4,\,\;\;\;\;\;\;\,\,\;\,}\\{-x + 4 + x + 1 < 7}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 4,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x-4 + x + 1 < 7\,}\end{array}\,\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-2;-1} \right),}\\{x \in \left[ {-1;4} \right],\;\;}\end{array}}\\{x \in \left( {4;5} \right)\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-2;5} \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-2;\;5} \right).\) Ответ: \(\left( {-2;\;5} \right).\)