19В. Решите неравенство  \(\left| {x + 1} \right| + \left| {x + 3} \right| < 8\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-6;\;2} \right).\)

Решение

\(\left| {x + 1} \right| + \left| {x + 3} \right| < 8.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов:

\(\left| {x + 1} \right| + \left| {x + 3} \right| < 8\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{-x-1-x-3 < 8}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -1,\,\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x-1 + x + 3 < 8}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\,}\\{x + 1 + x + 3 < 8.}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{-x-1-x-3 < 8}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\;\;\,}\\{-2x < 12}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,}\\{x > -6\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-6;-3} \right).\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -1,\,\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x-1 + x + 3 < 8}\end{array}} \right.\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -1,}\\{2 < 8\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-3;-1} \right].\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,\;\,}\\{x + 1 + x + 3 < 8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,}\\{2x < 4\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,}\\{x < 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-1;2} \right).\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{-x-1-x-3 < 8}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le -1,\,\;\;\;\;\;\,\,}\\{-x-1 + x + 3 < 8}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -1,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{x + 1 + x + 3 < 8}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-6;-3} \right),}\\{x \in \left[ {-3;-1} \right],\,}\\{x \in \left( {-1;2} \right)\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-6;2} \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-6;\;2} \right).\)

Ответ:  \(\left( {-6;\;2} \right).\)