2В. Решите неравенство  \(\left| {\frac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}}} \right| \ge 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right].\)

Решение

\(\left| {\frac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}}} \right| \ge 1.\)

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно совокупности:   \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) \le -a,}\\{f\left( x \right) \ge a.\;\;}\end{array}} \right.\)

\(\left| {\frac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}}} \right| \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} \le -1,}\\{\frac{{{x^2}-3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} \ge 1\,\,\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-3x + 2 + {x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} + 3x + 2}} \le 0,}\\{\frac{{{x^2}-3x + 2-{x^2}-3x-2}}{{{x^2} + 3x + 2}} \ge 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \le 0,}\\{\frac{{6x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \le 0.}\end{array}} \right.\)

Решим второе неравенство полученной совокупности:  \(\frac{{6x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \le 0.\)

Следовательно,  \(x \in \left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left( {-1;0} \right].\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{2{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \le 0,}\\{\frac{{6x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} \ge 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-2;-1} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left( {-1;0} \right]}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left( {-2;-1} \right) \cup \left( {-1;0} \right].\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right].\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;-2} \right) \cup \left( {-2;\;-1} \right) \cup \left( {-1;\;0} \right].\)