20В. Решите неравенство  \(\left| {x + 3} \right| + \left| {x-2} \right| > 5\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-3} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\left| {x + 3} \right| + \left| {x-2} \right| > 5.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов:

\(\left| {x + 3} \right| + \left| {x-2} \right| > 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,}\\{-x-3-x + 2 > 5}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\;\,\,}\\{x + 3-x + 2 > 5}\end{array}\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\,\;\,}\\{x + 3 + x-2 > 5.}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,}\\{-x-3-x + 2 > 5}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\;}\\{-2x > 6}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,}\\{x < -3\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-3} \right).\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\;\,\,}\\{x + 3-x + 2 > 5}\end{array}} \right.\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 2,}\\{5 > 5\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,\;\,}\\{x + 3 + x-2 > 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;}\\{2x > 4}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,}\\{x > 2\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2;\infty } \right).\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -3,\,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\,\;\;\;\;\,}\\{-x-3-x + 2 > 5}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 2,\,\;\;\;\;\;\,\,}\\{x + 3-x + 2 > 5}\end{array}\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\,\;\,\;\,}\\{x + 3 + x-2 > 5\,}\end{array}\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-3} \right),}\\{x \in \left( {2;\infty } \right)\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;\;-3} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;-3} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;-3} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)