21В. Решите неравенство  \(\left| {{x^2} + x-2} \right| + \left| {x + 4} \right| \le {x^2} + 2x + 6\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left[ {-6;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\)

Решение

\(\left| {{x^2} + x-2} \right| + \left| {x + 4} \right| \le {x^2} + 2x + 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {\left( {x + 2} \right)\left( {x-1} \right)} \right| + \left| {x + 4} \right| \le {x^2} + 2x + 6.\)

Решим исходное неравенство методом интервалов:

\(\left| {\left( {x + 2} \right)\left( {x-1} \right)} \right| + \left| {x + 4} \right| \le {x^2} + 2x + 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2-x-4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}\;\,\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -2,\;\;\;\;x \ge 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}\,\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-{x^2}-x + 2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2-x-4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;}\\{2x \ge -12}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,}\\{x \ge -6\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-6;-4} \right).\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -2,\;\;\;\;x \ge 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -2,\;\;\;\;x \ge 1,}\\{2 \le 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-4;-2} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right).\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-{x^2}-x + 2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;}\\{2{x^2} + 2x \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;}\\{2x\left( {x + 1} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-2;-1} \right] \cup \left[ {0;1} \right).\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2-x-4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}\;\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -2,\;\;\;\;x \ge 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-{x^2}-x + 2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left[ {-6;-4} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left[ {-4;-2} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right),}\\{x \in \left[ {-2;-1} \right] \cup \left[ {0;1} \right)\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-6;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left[ {-6;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left[ {-6;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\)