21В. Решите неравенство \(\left| {{x^2} + x-2} \right| + \left| {x + 4} \right| \le {x^2} + 2x + 6\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-6;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\)
\(\left| {{x^2} + x-2} \right| + \left| {x + 4} \right| \le {x^2} + 2x + 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {\left( {x + 2} \right)\left( {x-1} \right)} \right| + \left| {x + 4} \right| \le {x^2} + 2x + 6.\) Решим исходное неравенство методом интервалов: \(\left| {\left( {x + 2} \right)\left( {x-1} \right)} \right| + \left| {x + 4} \right| \le {x^2} + 2x + 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2-x-4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}\;\,\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -2,\;\;\;\;x \ge 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}\,\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-{x^2}-x + 2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2-x-4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;}\\{2x \ge -12}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,}\\{x \ge -6\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-6;-4} \right).\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -2,\;\;\;\;x \ge 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -2,\;\;\;\;x \ge 1,}\\{2 \le 6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-4;-2} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right).\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-{x^2}-x + 2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;}\\{2{x^2} + 2x \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;}\\{2x\left( {x + 1} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-2;-1} \right] \cup \left[ {0;1} \right).\) Следовательно: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2-x-4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}\;\;\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -2,\;\;\;\;x \ge 1,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\\{-{x^2}-x + 2 + x + 4 \le {x^2} + 2x + 6}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left[ {-6;-4} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left[ {-4;-2} \right) \cup \left[ {1;\infty } \right),}\\{x \in \left[ {-2;-1} \right] \cup \left[ {0;1} \right)\,\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-6;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-6;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {-6;-1} \right] \cup \left[ {0;\infty } \right).\)