22В. Решите неравенство  \(\left| {{x^2}-9} \right| + \left| {x + 4} \right| \ge 7\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-4} \right] \cup \left[ {-2;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\left| {{x^2}-9} \right| + \left| {x + 4} \right| \ge 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {\left( {x-3} \right)\left( {x + 3} \right)} \right| + \left| {x + 4} \right| \ge 7.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\left| {\left( {x-3} \right)\left( {x + 3} \right)} \right| + \left| {x + 4} \right| \ge 7\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-9-x-4 \ge 7}\end{array}\;\;\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < x < -3,\;\;\;x > 3,}\\{{x^2}-9 + x + 4 \ge 7\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;}\\{-{x^2} + 9 + x + 4 \ge 7.}\end{array}\,\,} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-9-x-4 \ge 7}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-x-20 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\left( {x-5} \right)\left( {x + 4} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left[ {5;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-4} \right].\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < x < -3,\;\;\;x > 3,}\\{{x^2}-9 + x + 4 \ge 7\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < x < -3,\;\;\;x > 3,}\\{{x^2} + x-12 \ge 0\;\;\;\,\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < x < -3,\;\;\;x > 3,}\\{\left( {x + 4} \right)\left( {x-3} \right) \ge 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < x < -3,\;\;\;x > 3,\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left( {3;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {3;\infty } \right).\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;}\\{-{x^2} + 9 + x + 4 \ge 7}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 3,\;\;\,\;}\\{{x^2}-x-6 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 3,\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\left( {x-3} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 3,}\\{x \in \left[ {-2;3} \right]\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-2;3} \right].\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2}-9-x-4 \ge 7}\end{array}\;\;\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 < x < -3,\;\;\;x > 3,}\\{{x^2}-9 + x + 4 \ge 7\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;}\\{-{x^2} + 9 + x + 4 \ge 7\,}\end{array}\,\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-4} \right],}\\{x \in \left( {3;\infty } \right),\;\;\;\,\,}\\{x \in \left[ {-2;3} \right]\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-4} \right] \cup \left[ {-2;\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;-4} \right] \cup \left[ {-2;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;-4} \right] \cup \left[ {-2;\;\infty } \right).\)