23В. Решите неравенство \(\left| {{x^2}-4} \right| + \left| {x-3} \right| \le 5\).
ОТВЕТ: \(\left\{ {-2} \right\} \cup \left[ {1;\;3} \right].\)
\(\left| {{x^2}-4} \right| + \left| {x-3} \right| \le 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)} \right| + \left| {x-3} \right| \le 5.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left| {\left( {x-2} \right)\left( {x + 2} \right)} \right| + \left| {x-3} \right| \le 5\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\;\;\;2 \le x \le 3,}\\{{x^2}-4-x + 3 \le 5\;\,\;}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 2,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{-{x^2} + 4-x + 3 \le 5}\end{array}\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{{x^2}-4 + x-3 \le 5.}\end{array}\,\,\;} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\;\;\;2 \le x \le 3,}\\{{x^2}-4-x + 3 \le 5\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\;\;\;2 \le x \le 3,}\\{{x^2}-x-6 \le 0\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\;\;\;2 \le x \le 3,}\\{\left( {x-3} \right)\left( {x + 2} \right) \le 0\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\;\;\;2 \le x \le 3,}\\{x \in \left[ {-2;3} \right]\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {2;3} \right].\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 2,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{-{x^2} + 4-x + 3 \le 5}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 2,\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-2 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x-1} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 2,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{x \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {1;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left\{ {-2} \right\} \cup \left[ {1;2} \right).\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-4 + x-3 \le 5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x-12 \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x + 4} \right)\left( {x-3} \right) \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 3,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left[ {-4;3} \right]}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Следовательно: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,\;\;\;2 \le x \le 3,}\\{{x^2}-4-x + 3 \le 5\;\,\;}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2 \le x < 2,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{-{x^2} + 4-x + 3 \le 5}\end{array}\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{{x^2}-4 + x-3 \le 5\,}\end{array}\,\,\;} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left[ {2;3} \right],\;\;\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left\{ {-2} \right\} \cup \left[ {1;2} \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left\{ {-2} \right\} \cup \left[ {1;\;3} \right].\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left\{ {-2} \right\} \cup \left[ {1;\;3} \right].\) Ответ: \(\left\{ {-2} \right\} \cup \left[ {1;\;3} \right].\)