24В. Решите неравенство \(\left| {{x^2} + 3x} \right| + \left| {x + 5} \right| \le {x^2} + 4x + 9\).
ОТВЕТ: \(\left[ {-7;\;-2} \right] \cup \left[ {-1;\;\infty } \right).\)
\(\left| {{x^2} + 3x} \right| + \left| {x + 5} \right| \le {x^2} + 4x + 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x\left( {x + 3} \right)} \right| + \left| {x + 5} \right| \le {x^2} + 4x + 9.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\left| {x\left( {x + 3} \right)} \right| + \left| {x + 5} \right| \le {x^2} + 4x + 9\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + 3x-x-5 \le {x^2} + 4x + 9}\end{array}\;\,\,\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-5 \le x < -3,\;\;\;\;x > 0,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{x^2} + 3x + x + 5 \le {x^2} + 4x + 9}\end{array}\;\,\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;\,\;\;}\\{-{x^2}-3x + x + 5 \le {x^2} + 4x + 9.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + 3x-x-5 \le {x^2} + 4x + 9}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -5,\;\;\,\,}\\{2x \ge -14}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -5,}\\{x \ge -7\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-7;-5} \right).\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-5 \le x < -3,\;\;\;\;x > 0,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{x^2} + 3x + x + 5 \le {x^2} + 4x + 9}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-5 \le x < -3,\;\;\;\;x > 0,}\\{5 \le 9\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-5;-3} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;\;\;}\\{-{x^2}-3x + x + 5 \le {x^2} + 4x + 9}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 0,\;\;\;\,\;\;}\\{{x^2} + 3x + 2 \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;}\\{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 0,\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-2} \right] \cup \left[ {-1;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-3;-2} \right] \cup \left[ {-1;0} \right].\) Следовательно: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + 3x-x-5 \le {x^2} + 4x + 9}\end{array}\;\,\,\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-5 \le x < -3,\;\;\;\;x > 0,\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{{x^2} + 3x + x + 5 \le {x^2} + 4x + 9}\end{array}\;\,\;} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-3 \le x \le 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\,\;\;\,\;\;}\\{-{x^2}-3x + x + 5 \le {x^2} + 4x + 9\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left[ {-7;-5} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left[ {-5;-3} \right) \cup \left( {0;\infty } \right),}\\{x \in \left[ {-3;-2} \right] \cup \left[ {-1;0} \right]\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-7;\;-2} \right] \cup \left[ {-1;\;\infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left[ {-7;\;-2} \right] \cup \left[ {-1;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left[ {-7;\;-2} \right] \cup \left[ {-1;\;\infty } \right).\)