25В. Решите неравенство  \(\frac{{\left| {x-2} \right|}}{{\left| {x-1} \right|-1}} \ge 1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{\left| {x-2} \right|}}{{\left| {x-1} \right|-1}} \ge 1.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\frac{{\left| {x-2} \right|}}{{\left| {x-1} \right|-1}} \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{-x + 2}}{{-x + 1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\;\;\;}\\{\frac{{-x + 2}}{{x-1-1}} \ge 1}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{{x-2}}{{x-1-1}} \ge 1.}\end{array}\,\,} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{-x + 2}}{{-x + 1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{-x + 2 + x}}{{-x}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,}\\{\frac{2}{x} \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,}\\{x < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;0} \right).\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x < 2,\;\;\;}\\{\frac{{-x + 2}}{{x-1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\frac{{-x + 2-x + 2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\;\;\;\;\,\;\;}\\{\frac{{-2\left( {x-2} \right)}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x < 2,}\\{-2 \ge 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{{x-2}}{{x-1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;}\\{\frac{{x-2-x + 2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,}\\{0 \ge 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2;\infty } \right).\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{-x + 2}}{{-x + 1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\;\;\;}\\{\frac{{-x + 2}}{{x-1-1}} \ge 1}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\frac{{x-2}}{{x-1-1}} \ge 1\;}\end{array}\,\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;0} \right),}\\{x \in \left( {2;\infty } \right)\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)