25В. Решите неравенство \(\dfrac{{\left| {x-2} \right|}}{{\left| {x-1} \right|-1}} \ge 1\).
ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)
\(\dfrac{{\left| {x-2} \right|}}{{\left| {x-1} \right|-1}} \ge 1.\) Решим полученное неравенство методом интервалов: \(\dfrac{{\left| {x-2} \right|}}{{\left| {x-1} \right|-1}} \ge 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{-x + 2}}{{-x + 1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\;\;\;}\\{\dfrac{{-x + 2}}{{x-1-1}} \ge 1}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{x-2}}{{x-1-1}} \ge 1.}\end{array}\,\,} \right.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{-x + 2}}{{-x + 1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{-x + 2 + x}}{{-x}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,}\\{\dfrac{2}{x} \le 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,}\\{x < 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;0} \right).\) Рассмотрим вторую систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x < 2,\;\;\;}\\{\dfrac{{-x + 2}}{{x-1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\dfrac{{-x + 2-x + 2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\;\;\;\;\,\;\;}\\{\dfrac{{-2\left( {x-2} \right)}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x < 2,}\\{-2 \ge 0\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\emptyset .\) Рассмотрим третью систему: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{x-2}}{{x-1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;}\\{\dfrac{{x-2-x + 2}}{{x-2}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,}\\{0 \ge 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {2;\infty } \right).\) Следовательно: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\dfrac{{-x + 2}}{{-x + 1-1}} \ge 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 \le x \le 2,\;\;\;}\\{\dfrac{{-x + 2}}{{x-1-1}} \ge 1}\end{array}\;\;\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2,\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\dfrac{{x-2}}{{x-1-1}} \ge 1\;}\end{array}\,\,} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;0} \right),}\\{x \in \left( {2;\infty } \right)\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;0} \right) \cup \left( {2;\infty } \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\) Ответ: \(\left( {-\infty ;\;0} \right) \cup \left( {2;\;\infty } \right).\)