26В. Решите неравенство  \(\frac{{\left| {x + 3} \right|-1}}{{4-2\left| {x + 4} \right|}} \ge -1\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\infty ;\;-8} \right] \cup \left( {-6;\;-2} \right) \cup \left( {-2;\;\infty } \right).\)

Решение

\(\frac{{\left| {x + 3} \right|-1}}{{4-2\left| {x + 4} \right|}} \ge -1.\)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

\(\frac{{\left| {x + 3} \right|-1}}{{4-2\left| {x + 4} \right|}} \ge -1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{-x-3-1}}{{4 + 2x + 8}} \ge -1}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -3,\;\;\;\;}\\{\frac{{-x-3-1}}{{4-2x-8}} \ge -1}\end{array}\,\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{\frac{{x + 3-1}}{{4-2x-8}} \ge -1.}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{-x-3-1}}{{4 + 2x + 8}} \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\,\;\;\;\;\,}\\{\frac{{-x-4 + 2x + 12}}{{2x + 12}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{x + 8}}{{2x + 12}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-8} \right] \cup \left( {-6;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-8} \right] \cup \left( {-6;-4} \right).\)

Рассмотрим вторую систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -3,\;\;\;\;}\\{\frac{{-x-3-1}}{{4-2x-8}} \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -3,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;}\\{\frac{{-x-4-2x-4}}{{-2x-4}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -3,}\\{\frac{{3x + 8}}{{2x + 4}} \ge 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x < -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-\frac{8}{3}} \right] \cup \left( {-2;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-4;-3} \right).\)

Рассмотрим третью систему:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{\frac{{x + 3-1}}{{4-2x-8}} \ge -1}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{x + 2-2x-4}}{{-2x-4}} \ge 0}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,\;\,\,\,\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{x + 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} \ge 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge -3,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2} \ge 0,\;}\\{x \ne -2}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left[ {-3;-2} \right) \cup \left( {-2;\infty } \right).\)

Следовательно:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -4,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\frac{{-x-3-1}}{{4 + 2x + 8}} \ge -1}\end{array}\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{-4 \le x \le -3,\;\;\;\;}\\{\frac{{-x-3-1}}{{4-2x-8}} \ge -1}\end{array}\,\,} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > -3,\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;}\\{\frac{{x + 3-1}}{{4-2x-8}} \ge -1\,\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-\infty ;-8} \right] \cup \left( {-6;-4} \right),}\\{x \in \left[ {-4;-3} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left[ {-3;-2} \right) \cup \left( {-2;\infty } \right)\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-8} \right] \cup \left( {-6;-2} \right) \cup \left( {-2;\infty } \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\infty ;\;-8} \right] \cup \left( {-6;\;-2} \right) \cup \left( {-2;\;\infty } \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\infty ;\;-8} \right] \cup \left( {-6;\;-2} \right) \cup \left( {-2;\;\infty } \right).\)