28В. Решите неравенство  \(\frac{{16\left| {x + 1} \right|-1}}{{3\left| {x + 1} \right| + 1}} < 3\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-\frac{{11}}{7};\;-\frac{3}{7}} \right).\)

Решение

\(\frac{{16\left| {x + 1} \right|-1}}{{3\left| {x + 1} \right| + 1}} < 3.\)

Так как знаменатель неравенства  \(3\left| {x + 1} \right| + 1 > 0\)  при  \(x \in R,\)  то умножим обе части исходного неравенства на  \(3\left| {x + 1} \right| + 1,\)  при этом знак неравенства не поменяется.

\(\frac{{16\left| {x + 1} \right|-1}}{{3\left| {x + 1} \right| + 1}} < 3\left| { \cdot \left( {3\left| {x + 1} \right| + 1} \right)} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;16\left| {x + 1} \right|-1 < 9\left| {x + 1} \right| + 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;7\left| {x + 1} \right| < 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x + 1} \right| < \frac{4}{7}.\)

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| < a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно двойному неравенству:  \(-a < f\left( x \right) < a.\)

\(\left| {x + 1} \right| < \frac{4}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\frac{4}{7} < x + 1 < \frac{4}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,-\frac{{11}}{7} < x < -\frac{3}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\frac{{11}}{7};-\frac{3}{7}} \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\frac{{11}}{7};\;-\frac{3}{7}} \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\frac{{11}}{7};\;-\frac{3}{7}} \right).\)