ЕГЭ Профиль. Неравенства с модулями. Задача 28В

ОТВЕТ: \(\left( {-\dfrac{{11}}{7};\;-\dfrac{3}{7}} \right).\)

\(\dfrac{{16\left| {x + 1} \right|-1}}{{3\left| {x + 1} \right| + 1}} < 3.\)

Так как знаменатель неравенства  \(3\left| {x + 1} \right| + 1 > 0\)  при  \(x \in R,\)  то умножим обе части исходного неравенства на  \(3\left| {x + 1} \right| + 1,\)  при этом знак неравенства не поменяется.

\(\dfrac{{16\left| {x + 1} \right|-1}}{{3\left| {x + 1} \right| + 1}} < 3\left| { \cdot \left( {3\left| {x + 1} \right| + 1} \right)} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;16\left| {x + 1} \right|-1 < 9\left| {x + 1} \right| + 3\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;7\left| {x + 1} \right| < 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x + 1} \right| < \dfrac{4}{7}.\)

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| < a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно двойному неравенству:  \(-a < f\left( x \right) < a.\)

\(\left| {x + 1} \right| < \dfrac{4}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\dfrac{4}{7} < x + 1 < \dfrac{4}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,-\dfrac{{11}}{7} < x < -\dfrac{3}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\dfrac{{11}}{7};-\dfrac{3}{7}} \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-\dfrac{{11}}{7};\;-\dfrac{3}{7}} \right).\)

Ответ:  \(\left( {-\dfrac{{11}}{7};\;-\dfrac{3}{7}} \right).\)