29В. Решите неравенство \(\frac{{\left| {x-1} \right| + 10}}{{4\left| {x-1} \right| + 3}} > 2\).
ОТВЕТ: \(\left( {\frac{3}{7};\;\frac{{11}}{7}} \right).\)
\(\frac{{\left| {x-1} \right| + 10}}{{4\left| {x-1} \right| + 3}} > 2.\) Так как знаменатель неравенства \(4\left| {x-1} \right| + 3 > 0\) при \(x \in R,\) то умножим обе части исходного неравенства на \(4\left| {x-1} \right| + 3,\) при этом знак неравенства не поменяется. \(\frac{{\left| {x-1} \right| + 10}}{{4\left| {x-1} \right| + 3}} > 2\left| { \cdot \left( {4\left| {x-1} \right| + 3} \right)} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x-1} \right| + 10 > 8\left| {x-1} \right| + 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;7\left| {x-1} \right| < 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x-1} \right| < \frac{4}{7}.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| < a\) при \(a \ge 0\) равносильно двойному неравенству: \(-a < f\left( x \right) < a.\) \(\left| {x-1} \right| < \frac{4}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\frac{4}{7} < x-1 < \frac{4}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\frac{3}{7} < x < \frac{{11}}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\frac{3}{7};\frac{{11}}{7}} \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {\frac{3}{7};\;\frac{{11}}{7}} \right).\) Ответ: \(\left( {\frac{3}{7};\;\frac{{11}}{7}} \right).\)