Профиль №15. Неравенства с модулями. Задача 29В

ОТВЕТ: \(\left( {\dfrac{3}{7};\;\dfrac{{11}}{7}} \right).\)

\(\dfrac{{\left| {x-1} \right| + 10}}{{4\left| {x-1} \right| + 3}} > 2.\)

Так как знаменатель неравенства  \(4\left| {x-1} \right| + 3 > 0\)  при  \(x \in R,\)  то умножим обе части исходного неравенства на  \(4\left| {x-1} \right| + 3,\)  при этом знак неравенства не поменяется.

\(\dfrac{{\left| {x-1} \right| + 10}}{{4\left| {x-1} \right| + 3}} > 2\left| { \cdot \left( {4\left| {x-1} \right| + 3} \right)} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x-1} \right| + 10 > 8\left| {x-1} \right| + 6\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;7\left| {x-1} \right| < 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left| {x-1} \right| < \dfrac{4}{7}.\)

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| < a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно двойному неравенству:  \(-a < f\left( x \right) < a.\)

\(\left| {x-1} \right| < \dfrac{4}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-\dfrac{4}{7} < x-1 < \dfrac{4}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,\dfrac{3}{7} < x < \dfrac{{11}}{7}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {\dfrac{3}{7};\dfrac{{11}}{7}} \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {\dfrac{3}{7};\;\dfrac{{11}}{7}} \right).\)

Ответ:  \(\left( {\dfrac{3}{7};\;\dfrac{{11}}{7}} \right).\)