3В. Решите неравенство \(\left| {x-6} \right| > \left| {{x^2}-5x + 9} \right|\).
ОТВЕТ: \(\left( {1;3} \right).\)
\(\left| {x-6} \right| > \left| {{x^2}-5x + 9} \right|.\) Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| > \left| {g\left( x \right)} \right|\) решается возведением обеих частей неравенства в квадрат (это допустимо, так как обе части неравенства неотрицательны): \({f^2}\left( x \right) > {g^2}\left( x \right)\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{f^2}\left( x \right)-{g^2}\left( x \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {f\left( x \right)-g\left( x \right)} \right)\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right) > 0.\) \(\left| {x-6} \right| > \left| {{x^2}-5x + 9} \right|\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-6} \right)^2} > {\left( {{x^2}-5x + 9} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x-6} \right)^2}-{\left( {{x^2}-5x + 9} \right)^2} > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-6 + {x^2}-5x + 9} \right)\left( {x-6-{x^2} + 5x-9} \right) > 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-4x + 3} \right)\left( {{x^2}-6x + 15} \right) < 0.\) Так как дискриминант квадратного трёхчлена \({x^2}-6x + 15\) равен \(D = 36-60 = -24,\) то \({x^2}-6x + 15 > 0\) при \(x \in R.\) Поэтому: \(\left( {{x^2}-4x + 3} \right)\left( {{x^2}-6x + 15} \right) < 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,{x^2}-4x + 3 < 0\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,x \in \left( {1;\,3} \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {1;3} \right).\) Ответ: \(\left( {1;3} \right).\)