30В. Решите неравенство  \(\frac{1}{{\left| {x + 1} \right|-1}} \ge \frac{1}{{\left| {x + 1} \right|-2}}\).

Ответ

ОТВЕТ: \(\left( {-3;\;-2} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\)

Решение

\(\frac{1}{{\left| {x + 1} \right|-1}} \ge \frac{1}{{\left| {x + 1} \right|-2}}.\)

Пусть  \(\left| {x + 1} \right| = t,\;\;\;\;t \ge 0.\)  Тогда исходное неравенство примет вид:

\(\frac{1}{{t-1}} \ge \frac{1}{{t-2}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t-2-t + 1}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-2} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 < t < 2.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(1 < \left| {x + 1} \right| < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x + 1} \right| < 2,}\\{\left| {x + 1} \right| > 1.\,}\end{array}} \right.\)

Рассмотрим первое неравенство полученной системы.

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| < a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно двойному неравенству:  \(-a < f\left( x \right) < a.\)

\(\left| {x + 1} \right| < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 < x + 1 < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,-3 < x < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {-3;1} \right).\)

Рассмотрим второе неравенство полученной системы.

Неравенство вида  \(\left| {f\left( x \right)} \right| > a\)  при  \(a \ge 0\)  равносильно совокупности:  \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < -a,\;\,}\\{f\left( x \right) > a.\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)

\(\left| {x + 1} \right| > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 < -1,}\\{x + 1 > 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,}\\{x > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\)

Следовательно:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x + 1} \right| < 2,}\\{\left| {x + 1} \right| > 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-3;1} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {0;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-3;\;-2} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\)

Таким образом, решением исходного неравенства является:  \(x \in \left( {-3;\;-2} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\)

Ответ:  \(\left( {-3;\;-2} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\)