30В. Решите неравенство \(\frac{1}{{\left| {x + 1} \right|-1}} \ge \frac{1}{{\left| {x + 1} \right|-2}}\).
ОТВЕТ: \(\left( {-3;\;-2} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\)
\(\frac{1}{{\left| {x + 1} \right|-1}} \ge \frac{1}{{\left| {x + 1} \right|-2}}.\) Пусть \(\left| {x + 1} \right| = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда исходное неравенство примет вид: \(\frac{1}{{t-1}} \ge \frac{1}{{t-2}}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{t-2-t + 1}}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-2} \right)}} \ge 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{1}{{\left( {t-1} \right)\left( {t-2} \right)}} \le 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;1 < t < 2.\) Вернёмся к прежней переменной: \(1 < \left| {x + 1} \right| < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x + 1} \right| < 2,}\\{\left| {x + 1} \right| > 1.\,}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое неравенство полученной системы. Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| < a\) при \(a \ge 0\) равносильно двойному неравенству: \(-a < f\left( x \right) < a.\) \(\left| {x + 1} \right| < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;-2 < x + 1 < 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,-3 < x < 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\,x \in \left( {-3;1} \right).\) Рассмотрим второе неравенство полученной системы. Неравенство вида \(\left| {f\left( x \right)} \right| > a\) при \(a \ge 0\) равносильно совокупности: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) < -a,\;\,}\\{f\left( x \right) > a.\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) \(\left| {x + 1} \right| > 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 < -1,}\\{x + 1 > 1\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < -2,}\\{x > 0\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {0;\infty } \right).\) Следовательно: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left| {x + 1} \right| < 2,}\\{\left| {x + 1} \right| > 1\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \in \left( {-3;1} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x \in \left( {-\infty ;-2} \right) \cup \left( {0;\infty } \right)}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \in \left( {-3;\;-2} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\) Таким образом, решением исходного неравенства является: \(x \in \left( {-3;\;-2} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\) Ответ: \(\left( {-3;\;-2} \right) \cup \left( {0;\;1} \right).\)